Fundamentos Gerais de Matemática

Conjuntos numéricos e operações

Olá, estudante! Nesta aula você conhecerá conceitos fundamentais da Matemática, envolvendo os principais conjuntos numéricos e suas operações.

Este conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois, de posse desses conteúdos, bem como de conceitos específicos de sua área de atuação e outros conceitos matemáticos, você poderá construir modelos e obter soluções que atendam aos critérios estabelecidos, como em situações nas quais é necessário trabalhar com a melhor distribuição de recursos, etc.

Prepare-se para essa jornada de conhecimento!

Ponto de Partida

Desejamos boas-vindas a você para esta aula de Fundamentos de Cálculo Aplicado. Vamos direcionar nossos estudos a conceitos essenciais da Matemática, que são os conjuntos numéricos, suas propriedades e operações. É a partir do conceito de número que podemos explorar os mais variados conteúdos matemáticos, viabilizando, assim, sua aplicação nas mais variadas ciências.

Os principais conjuntos numéricos com os quais trabalhamos são organizados com base nas características dos números que eles contêm. Assim, por exemplo, no conjunto de números racionais temos os números que são obtidos pela divisão entre dois números inteiros, sendo essa divisão associada à representação na forma de fração. Nesse sentido, para a compreensão desses conjuntos, precisamos analisar a estrutura dos números que os compõem e, consequentemente, das operações correspondentes.

Considerando a relevância dos conjuntos numéricos e de suas características, vamos investigar a situação apresentada no que segue. Um fazendeiro está adquirindo uma nova propriedade, para a expansão de sua fazenda, com uma área total de 50 alqueires paulistas. Porém, devido à sua localização, $\frac{1}{5}$ dessa nova propriedade contempla uma área de preservação permanente, a qual não pode ser modificada, e em $\frac{1}{8}$ dela estão localizadas algumas construções, como uma casa e um depósito, os quais serão mantidos após a aquisição. Com base nessas informações, qual é a fração dessa nova área que está disponível para plantio? Qual a área disponível para plantio em metros quadrados?

Dê continuidade aos seus estudos e confira os conceitos que podem auxiliar na construção da solução para a problemática apresentadas. 

Vamos Começar!

Teoria dos Conjuntos é um ramo da Matemática voltado ao estudo da noção de conjunto e aos conceitos associados, como a caracterização dos elementos, as representações dos conjuntos, bem como as operações definidas entre conjuntos. Assim, iniciemos nossos estudos pelos conceitos elementares.

Conjuntos

Um conjunto pode ser entendido como uma coleção de objetos que possuem ao menos uma característica em comum. Por exemplo, um conjunto pode ser composto pelos números 1, 2, 3, 4 e 5, nesse caso, o conjunto tem natureza numérica e a relação existente entre os integrantes do conjunto é que todos eles são números naturais. Cada um desses números pode ser chamado de elemento do conjunto.

Os conjuntos são denotados, usualmente, por letras maiúsculas $A,B,C,...,$ e seus elementos geralmente são representados pelas letras minúsculas $a,b,c,....$ No caso do exemplo anterior, podemos chamar o conjunto de $A$ e utilizar a representação $A=\left\{1,2,3,4,5\right\}$. Outra possível representação é a indicação de uma propriedade que caracteriza os elementos, o que nesse exemplo pode ser dado por $A=\left\{x\in \mathrm{\mathbb{N}};1\le x\le 5\right\}$, o que pode ser lido como “o conjunto $A$ é formado pelos elementos $x$ pertencentes ao conjunto de números naturais ($x\in \mathrm{\mathbb{N}}$), tais que $x$ é maior ou igual a 1 e menor ou igual a 5”. Outra possível representação é utilizando os diagramas, conforme Figura 1, sendo mais utilizada para conjuntos com poucos elementos.

De posse desses conceitos básicos, vamos ao estudo dos principais conjuntos numéricos e suas operações.

 

 

Siga em Frente...

Conjuntos numéricos

Os conjuntos numéricos são formados por números. Das diversas possibilidades de conjuntos que podemos construir nesse critério, alguns se destacam e, inclusive, recebem notações especiais. Vejamos quais são os principais conjuntos numéricos em destaque na Matemática.

Conjunto dos números naturais ($\mathrm{\mathbb{N}}$)

O conjunto de números naturais é dado por $\mathrm{\mathbb{N}}=\left\{0,1,2,3,4,5,\dots \right\}$, cujos elementos são usualmente empregados no processo de contagem. A partir dele, podemos construir outros subconjuntos como o subconjunto dos números naturais não nulos, o qual pode ser representado por ${\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}=\left\{1,2,3,4,5,\dots \right\}$.

Conjunto dos números inteiros ($\mathrm{\mathbb{Z}}$)

O conjunto dos números inteiros é dado por $\mathrm{\mathbb{Z}}=\left\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \right\}$, ou seja, contempla o zero, os inteiros positivos e os inteiros negativos. Observe que o conjunto de números naturais é um subconjunto de $\mathrm{\mathbb{Z}}$, relação está que pode ser descrita por $\mathrm{\mathbb{N}}\subset \mathrm{\mathbb{Z}}$.

A partir dos inteiros, podemos construir alguns subconjuntos importantes: o conjunto dos números inteiros não negativos ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}=\left\{0,1,2,3,\dots \right\}$ (que coincide com os naturais), os inteiros não positivos ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{-}=\left\{0,-1,-2,-3,\dots \right\}$, os inteiros não nulos ${\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}=\left\{\dots ,-2,-1,1,2,3,\dots \right\}=\mathrm{\mathbb{Z}}-\left\{0\right\}$, os inteiros positivos ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}^{*}=\left\{1,2,3,\dots \right\}$ e os inteiros negativos ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{-}^{*}=\{-\mathrm{1,}-\mathrm{2,}-\mathrm{3,...}\}$.

Conjunto dos números racionais ($\mathrm{\mathbb{Q}}$)

O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser representados na forma de uma fração $\frac{a}{b}$, em que $a$ e $b$ são números inteiros, com $b$ não nulo. Podemos representar esse conjunto na forma:

$\mathrm{\mathbb{Q}}=\left\{\frac{a}{b};a, b\in \mathrm{\mathbb{Z}} e b\ne 0\right\}$

 

Nesse conjunto são incluídos os números naturais, os inteiros e, também, as dízimas periódicas. E assim como no caso dos inteiros, podemos construir os seguintes subconjuntos: racionais não negativos $\left({\mathrm{\mathbb{Q}}}_{+}\right)$, racionais não positivos $\left({\mathrm{\mathbb{Q}}}_{-}\right)$, racionais não nulos $\left({\mathrm{\mathbb{Q}}}^{*}\right)$, racionais positivos $\left({\mathrm{\mathbb{Q}}}_{+}^{*}\right)$ e racionais negativos $\left({\mathrm{\mathbb{Q}}}_{-}^{*}\right)$, adotando a mesma lógica utilizada no caso de $\mathrm{\mathbb{Z}}$.

Os números racionais podem ser representados tanto na forma de fração quanto na representação decimal. Se tivermos um número $\frac{p}{q}$, basta efetuar a divisão e encontraremos sua representação na forma decimal. Por exemplo, $\frac{1}{2}$ e $-\frac{3}{5}$ são números racionais, assim como $\mathrm{0,5}$ e $-\mathrm{0,222}\dots$. Existem ainda números racionais que são equivalentes, por exemplo, $\frac{1}{2}$ e $\frac{2}{4}$ são frações equivalentes porque podemos converter uma fração na outra por meio da multiplicação do numerador e do denominador por um mesmo valor.

Conjunto dos números irracionais ($\mathrm{𝕀}$)

O conjunto dos números irracionais, diferente dos racionais, é composto por todas as dízimas não periódicas, isto é, pelos números que, quando representados na forma decimal, apresentam infinitas casas decimais, as quais não são periódicas, não repetindo um padrão predefinido. Assim, $\mathrm{𝕀}=\left\{x;x \mathrm{é}\mathrm{ }\mathrm{uma}\mathrm{ }\mathrm{dízima}\mathrm{ }\mathrm{não}\mathrm{ }\mathrm{periódica}\right\}$.

Nesse conjunto, podemos destacar dois números muito importantes. O número pi ($\pi =\mathrm{3,141592654}\dots$) é obtido a partir de uma relação de proporção entre a medida da circunferência e a do seu respectivo diâmetro. Já o número de Euler ($e=\mathrm{2,71828182}\dots$), também conhecido como número de Neper, é empregado principalmente como base dos logaritmos naturais.

Conjunto dos números reais ($\mathrm{ℝ}$)

O conjunto dos números reais corresponde à união entre os conjuntos de números racionais e irracionais, podendo ser representado como $\mathrm{ℝ}=\mathrm{\mathbb{Q}}\cup \mathrm{𝕀}$. A partir do conjunto de números reais, podemos definir os intervalos, os quais podem ser organizados em duas categorias.

Atenção: podemos nos referir ao conjunto de números irracionais também pela notação $\mathrm{ℝ}-\mathrm{\mathbb{Q}}$, isto é, entender o conjunto de números irracionais como o complementar dos racionais em relação aos reais.

Observe na Figura 2 a representação dos conjuntos numéricos no diagrama de Venn.

Podemos definir, sobre esses conjuntos numéricos, as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão, porém, considerando que algumas dessas operações não são fechadas sobre alguns desses conjuntos. Por exemplo, a subtração não é fechada no conjunto de números naturais, basta considerar que $3\in N$e $5\in \mathrm{\mathbb{N}}$, no entanto, $3-5\notin \mathrm{\mathbb{N}}$.

Vamos analisar a seguir operações para o conjunto $\mathrm{\mathbb{Z}}$.

Adição: $a+b$ com $a,b\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Por exemplo, $2+\left(-3\right)=-1$.	Multiplicação: $a\cdot b$ com $a,b\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Por exemplo, $3\cdot \left(-2\right)=-6$.
Subtração: $a-b$ com $a,b\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Por exemplo, $2-\left(-3\right)=5$.	Divisão: se $a,b\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, com $b>0$, então existem $q,r\in \mathrm{\mathbb{Z}}$únicos, com $0\le r<b$, tais que $a=b\cdot q+r$. Por exemplo, se $a=101$ e $b=11$, então $101=11\cdot 9+2$. Nesse caso, $q=9$ é o quociente e $r=2$é o resto. Quando $r=0$, a divisão é exata e, então, $b$divide $a$.

Podemos adequar essas operações também para os demais conjuntos numéricos. Vejamos alguns exemplos de como trabalhar com essas operações especificamente no contexto das frações, isto é, dos números racionais representados na forma fracionária. Para esse caso, é importante destacar que a adição e a subtração são efetuadas desde que as frações envolvidas possuam mesmo denominador, sendo necessário trabalhar com frações equivalentes caso contrário, o que pode ser obtido por meio de mínimo múltiplo comum.

Adição: como $mmc\left(\mathrm{3,5}\right)=15$, $\frac{2}{3}+\frac{4}{5}=\frac{10}{15}+\frac{12}{15}=\frac{10+12}{15}=\frac{22}{15}$	Multiplicação: $\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}=\frac{8}{15}$
Subtração: como $mmc\left(\mathrm{3,5}\right)=15$, $\frac{2}{3}-\frac{4}{5}=\frac{10}{15}-\frac{12}{15}=\frac{10-12}{15}=-\frac{2}{15}$	Divisão: é multiplicação pela fração inversa $\frac{2}{3}÷\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{4}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$

s operações apresentadas também gozam de diversas propriedades, as quais possibilitam, entre outros, a resolução de problemas que envolvem os números em suas diferentes categorias.

Para concluir o estudo dos conjuntos numéricos, o último desses conjuntos que podemos destacar é o conjunto de números complexos, que engloba todos os conjuntos apresentados anteriormente.

Conjunto dos números complexos ($\mathrm{ℂ}$)

O conjunto dos números complexos é composto pelos números na forma $a+bi$, com $a,b\in \mathrm{ℝ}$, em que $i$ representa a unidade imaginária, tal que $i^2=-1$. Nesse conjunto temos a possibilidade, por exemplo, de resolver equações na forma $x^2=-1$, o que não é possível nos conjuntos indicados anteriormente.

Por exemplo, $2-i$ e $5+3i$ são números complexos. Ainda, todos os números reais são também complexos porque podemos representá-los na forma $a+0i$, com $a\in \mathrm{ℝ}$. Assim, o conjunto dos números complexos contém os naturais, os inteiros, os racionais, os irracionais e os reais.

Na representação algébrica $a+bi$ para um número complexo, chamamos $a\in \mathrm{ℝ}$ de parte real e $b\in \mathrm{ℝ}$ de parte imaginária. Assim, por exemplo, no número complexo $-1+2i$ a parte real é $-1$e a parte imaginária corresponde a $2$. Apesar das nomenclaturas, tanto a parte real quanto a imaginária são formadas por números reais, a unidade imaginária $i$ não faz parte de nenhuma dessas duas partes.

Além da representação algébrica, também podemos representar os números complexos de forma geométrica, por meio do plano de Argand-Gauss. Essa representação provém do plano cartesiano usual, mas com a adaptação do eixo $x$ para representar as partes reais dos números complexos (eixo $Re$), enquanto o eixo $y$ corresponde às partes imaginárias (eixo $Im$). Veja na Figura 3 a estrutura do plano de Argand-Gauss, também chamado de plano complexo, em conjunto com a representação para o número complexo $2+3i$.

No plano complexo, o ponto de coordenadas $\left(\mathrm{2,3}\right)$ é chamado de afixo do número complexo $2+3i$. O número complexo pode ser representado tanto pelo seu afixo pelo vetor que parte da origem $\left(\mathrm{0,0}\right)$ e tem como extremidade o seu afixo.

Assim como temos operações definidas sobre os outros conjuntos numéricos, também podemos definir operações em $\mathrm{ℂ}$, mas considerando a presença das partes real e imaginária, as quais são descritas por números reais, e considerando que $i^2=-1$.

O conhecimento dos conjuntos numéricos é indispensável para o estudo de problemas que envolvem conceitos matemáticos, visto que é um dos elementos indispensáveis para a interpretação, representação e resolução de problemas de contextos diversos. 

Vamos Exercitar?

Para a resolução da situação apresentada, considere uma propriedade com área de 40 alqueires. Sabemos que $\frac{1}{5}$ dessa nova propriedade contempla área de preservação permanente e em $\frac{1}{8}$ dela estão localizadas algumas construções que serão mantidas.

Fazendo uma análise do ponto de vista das frações, vamos calcular qual fração corresponde à parte da propriedade que será mantida. Assim, devemos calcular $\frac{1}{5}+\frac{1}{8}$. Calculando o mínimo múltiplo comum entre 5 e 8 teremos $mmc\left(\mathrm{5,8}\right)=40$, sendo assim,

$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{8}{40}+\frac{5}{40}=\frac{8+5}{40}=\frac{13}{40}$

Dessa forma, $\frac{13}{40}$ dessa propriedade será mantida. Vamos calcular a área livre:

$1-\frac{13}{40}=\frac{40}{40}-\frac{13}{40}=\frac{40-13}{40}=\frac{27}{40}$

Consequentemente, a fração $\frac{27}{40}$ corresponde à área da propriedade que está livre para plantio.

Agora, faremos a conversão para metros quadrados. Como um alqueire paulista corresponde a 24 200 metros quadrados, então 50 alqueires correspondem a 1 210 000 metros quadrados. Como apenas $\frac{27}{40}$ dessa área estão disponíveis, então:

$\frac{27}{40}\cdot 1 210 000=816 750$

Portanto, a área disponível para plantio é de 816 750 metros quadrados, o que conclui a solução do problema. 

Saiba Mais

Para complementar os estudos sobre os conjuntos numéricos, com suas operações e propriedades, estude o livro Pré-Cálculo, de Valéria Z. Medeiros e outros. Nesse material, entre as páginas 15 a 21, no trecho que contempla as seções 2.1 Tipos de números, 2.2 Números reais e 2.3 Exercícios resolvidos, você encontrará, além dos principais conceitos envolvendo os diferentes conjuntos numéricos, exemplos e exercícios vinculados ao tema.

A respeito especificamente das frações, uma sugestão é o livro Pré-Cálculo, dos autores Adriana M. Adami, Adalberto A. D. Filho e Magda M. Lorandi. Na seção 1.4 Operações com frações, entre as páginas 6 a 8, você poderá conferir detalhes a respeito das operações envolvendo as frações, com exemplos associados.

Já a respeito do conjunto de números complexos, a sugestão é o livro Trigonometria e números complexos, de autoria de Alexandre Molter. Entre as páginas 219 a 230, que contemplam as seções 4.1 O conjunto dos números complexos, 4.2 Representação geométrica dos números complexos e 4.3 Operações em C, são destacados os conceitos essenciais sobre números complexos, com as definições e as principais representações, além de um estudo detalhado acerca das operações envolvendo números complexos.

 

 

Referências Bibliográficas

ADAMI, A. M.; FILHO, A. A. D.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2015.

BONETTO, G. A.; MUROLO, A. C. Fundamentos de matemática para engenharias e tecnologias. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018.

GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018.

MEDEIROS, V. Z. et al. Pré-Cálculo. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2013.

MOLTER, A. Trigonometria e números complexos: com aplicações. São Paulo: Editora Blucher, 2020. 

Equações e inequações

Olá, estudante! Nesta aula você conhecerá os conceitos fundamentais a respeito das equações e inequações, especificamente em relação a equações de 1º e 2º graus, e inequações de 1º grau.

Este conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois a resolução de equações e inequações podem estar presentes tanto de forma direta, sendo empregadas na representação de problemas em estudo, bem como parte da solução de problemas mais complexos.

Prepare-se para essa jornada de conhecimento! Vamos lá!

Ponto de Partida

Desejamos boas-vindas a você, estudante! Vamos agora aprofundar nossos estudos a respeito das equações e inequações. Pela sua aplicabilidade na interpretação e resolução de problemas reais provenientes de diversos contextos, é importante direcionarmos nossos estudos a esses tópicos, observando principalmente as equações lineares e quadráticas, além das inequações de 1º grau.

As equações e inequações, além da aplicação direta em determinados problemas, estão diretamente relacionadas ao estudo das funções, que consiste em um dos principais conceitos estudados na Matemática e aplicado nas mais variadas áreas de conhecimento.

Diante desse tema, vamos à análise da seguinte situação. Uma empresa de tecnologia está contratando funcionários para fazer atendimentos remotos aos clientes, resolvendo os problemas identificados nos computadores de uso pessoal, dos diferentes setores da empresa. O setor de recursos humanos organizou duas propostas de salário para esse cargo:

• Proposta I: salário fixo de R$ 1.600,00, além de um bônus de R$ 7,00 por cada atendimento realizado no mês.
• Proposta II: salário fixo de R$ 1.800,00, além de um bônus de R$ 5,00 por cada atendimento realizado no mês.

Considerando essas informações, em que condições a proposta I é a melhor opção para a empresa contratante? E a proposta II?

Prossiga em seus estudos e confira os conceitos que podem contribuir para a solução desse problema. 

Vamos Começar!

O estudo das equações é um tópico de destaque na Matemática, pois em muitos contextos buscamos a representação de problemas por meio de equações ou, ainda, quando empregamos o conceito de função na construção de modelos, em muitos casos resumimos nossos problemas à resolução de equações. Assim, vamos iniciar nossos estudos pela definição de equação e, mais especificamente, pelas equações de 1º grau.

Equações de 1º grau

Uma equação consiste em uma declaração de que duas expressões são iguais, sendo essa relação evidenciada pela presença do símbolo de igualdade ($=$). Assim, teremos uma expressão da forma $A=B$. Nesse contexto, são exemplos de equações:

$\frac{4y}{3}=3y^2 x^3=3x-1 x^2+2x-15=0$

Nos exemplos anteriores, não são conhecidos previamente os valores assumidos por $x$ e $y$. O termo desconhecido de uma equação é denominado incógnita, às vezes chamado também de variável, sendo representado por uma letra.

Considerando ainda os exemplos anteriores, da equação $\frac{4y}{3}=3y^2$ podemos dizer que $\frac{4y}{3}$ corresponde ao 1º membro da equação, que seria o termo à esquerda do símbolo de igualdade, e $3y^2$ consiste no 2º membro da equação, o qual está à direita do símbolo $=$.

Ao representar um problema por meio de uma equação, podemos buscar suas soluções para que seja possível determinar respostas para o problema em estudo. Nesse sentido, são denominados raízes ou soluções da equação aos valores que a tornam válida, ou que satisfazem a equação. Vejamos o caso da equação $x+1=3$, ao adotar $x=2$ teremos que $2+1=3$, o que torna válida a equação, logo, esse valor corresponde à solução da equação $x+1=3$.

A equação $2x-1=3$ também admite $x=2$ como solução, pois $2\cdot 2-1=3$. Observe que essa equação e $x+1=3$ têm a mesma solução, por isso podemos dizer que essas equações são equivalentes entre si.

O processo de resolução de uma equação, isto é, de obtenção das soluções, envolve o processo de conversão da equação em uma outra equação, equivalente à primeira, e cuja solução é óbvia. As operações que podem ser empregadas nesse processo são:

• Adição ou subtração do mesmo número em ambos os membros da equação.
• Multiplicar ou dividir ambos os membros pelo mesmo número não nulo.
• Simplificar expressões em um dos membros da equação.

Agora, vamos à aplicação dos conceitos estudados até o momento para uma categoria específica de equações, as de 1º grau.

Uma equação polinomial de 1º grau, também chamada de equação linear, corresponde a uma equação na forma $ax+b=0$, ou que possa ser transformada em uma equação equivalente nesse formato. Quando $a\ne 0$, a equação linear possui uma única solução. Se $a=0$, a única solução possível é $x=0$ quando $b=0$, caso contrário ela não terá solução. As demais equações que não atendem a esse formato são chamadas de equações não lineares.

Por exemplo, a equação $2x+4=0$ é linear, em que $a=2$e $b=4$. Ainda, a equação $3x=-1$ é também linear, porque ela pode ser transformada em $3x+1=0$, por meio da adição de $1$ em ambos os membros da equação original. Já $2x^2-3=1$ é do tipo não linear.

Para a obtenção da solução de uma equação linear precisamos empregar os procedimentos já citados, tendo em vista isolar a incógnita em um membro. Nesse processo, a ideia é combinar incógnitas em um membro da equação e os termos constantes no outro membro. A seguir é apresentado um exemplo de como podemos resolver a equação linear dada por $5x-8=2x+1$.

$5x-8$	$=$	$2x+1$	Subtraia $2x$ de ambos os membros.
$5x-8-2x$	$=$	$2x+1-2x$
$3x-8$	$=$	$1$	Adicione $8$ a ambos os membros.
$3x-8+8$	$=$	$1+8$
$3x$	$=$	$9$	Divida ambos os membros por $3$.
$x$	$=$	$3$

Logo, as equações $5x-8=2x+1$ e $x=3$ são equivalentes, logo a raiz da equação em estudo é $x=3$.

Na sequência, vejamos o caso das equações de 2º grau.

Equações de 2º grau

Uma equação polinomial de 2º grau, ou equação quadrática, é aquela que pode ser escrita na forma $a{x}^2+bx+c=0$, com $a\ne 0$, ou que pode ser transformada em uma equação equivalente nesse formato. Por apresentar a incógnita em uma potência de expoente 2, indicada por $x^2$, temos que essa equação pode apresentar até duas raízes ou soluções.

Para esse tipo de equação, existem alguns métodos de resolução que podem ser aplicados. No entanto, estudaremos o método que pode ser aplicado em qualquer contexto e que envolve a aplicação de uma fórmula específica.

Se a equação quadrática está representada em sua forma padrão $x^2+bx+c=0$, com $a\ne 0$, suas soluções podem ser obtidas a partir da fórmula:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$

Note que essa fórmula traz implícita as duas soluções da equação. O termo $\pm$ indica que teremos que aplicar essa fórmula duas vezes, em uma utilizaremos o sinal $+$ e na outra o sinal $-$. O termo $\mathrm{\Delta }=b^2-4\cdot a\cdot c$, que aparece no radicando da raiz, é chamado de discriminante. O valor do discriminante $\mathrm{\Delta }$ pode ser empregado na identificação dos tipos de soluções que a equação quadrática possui:

• Se $\mathrm{\Delta }>0$, a equação quadrática terá duas soluções reais e distintas.
• Se $\mathrm{\Delta }=0$, a equação quadrática terá duas soluções reais e iguais.
• Se $\mathrm{\Delta }<0$, a equação quadrática não terá soluções reais.

Desse modo, calculando o valor de $\mathrm{\Delta }$, já podemos prever o comportamento das soluções da equação, caso existam. Ainda, considerando a expressão do discriminante, a fórmula para resolução de equação quadrática pode ser escrita na forma:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\cdot a}$

Analisemos o exemplo da equação $x^2-2x-3=0$. Observe que essa equação pode ser escrita como $1\cdot x^2+\left(-2\right)\cdot x+\left(-3\right)=0$, assim, $a=1$, $b=-2$ e $x=-3$. Calculando o discriminante, segue que:

$\mathrm{\Delta }=b^2-4\cdot a\cdot c={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$

Como $\mathrm{\Delta }>0$, então a equação tem duas soluções distintas. Vamos aplicar a fórmula no cálculo das soluções $x_1$ e $x_2$, sabendo que a fórmula deve ser aplicada duas vezes, uma com adição e outra com subtração:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-2\right)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2-4}{2}=-1$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\cdot a}=\frac{-\left(-2\right)+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2+4}{2}=3$

Portanto, as soluções para a equação são $x=-1$ e $x=3$.

Para qualquer equação quadrática, podemos empregar esse procedimento em sua resolução. No entanto, perceba a importância de identificar corretamente os valores dos coeficientes $a$, $b$ e $c$ para as substituições nas fórmulas correspondentes.

Agora, prossigamos ao estudo das inequações, as quais envolvem desigualdades.

Siga em Frente...

Inequações de 1º grau

Quando trabalhamos com equações, buscamos valores que tornam duas expressões iguais. Já no caso das inequações, não teremos igualdades, mas desigualdades. Assim, inequação é uma expressão que envolve a comparação entre dois termos por meio da utilização dos símbolos $<$ (“menor que”), $>$ (“maior que”), $\le$ (“menor ou igual a”) ou $\ge$ (“maior ou igual a”), além da presença de uma variável, indicada por uma ou mais letras. Veja a seguir exemplos de expressões que podem ser classificadas como inequações.

$3x<5 2y^2\le y+4 x+2\ge 2x-5$

Para identificar se um número é solução de uma inequação, basta substituir e verificar se a expressão é válida. Por exemplo, para o primeiro caso note que $x=1$ é solução, porque $3\cdot 1<5$, enquanto $x=3$ não é solução devido a $3\cdot 3\nless 5$ (nesse caso, $\nless$ significa “não é menor que”). Ainda para essa inequação, note que a variável $x$ apresenta expoente 1, então este é um exemplo de inequação de 1º grau. Nesse caso, o maior expoente da variável da inequação deve ser 1.

Para as inequações, quando desejamos determinar todas as soluções, não é viável fazer testes individuais, mas buscar um método que permita obter todas elas por uma estratégia única, visto que podemos ter infinitas soluções. Para isso, precisamos empregar algumas propriedades envolvendo as operações, como indicado a seguir:

• Somar ou subtrair: as inequações $a<b$, $a+c<b+c$ e $a-c<b-c$ são equivalentes para qualquer número $c$.
• Multiplicar ou dividir por um número positivo: as inequações $a<b$, $ac<bc$ e $\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$ são equivalentes para qualquer número positivo $c$.
• Multiplicar ou dividir por um número negativo: as inequações $a<b$, $ac>bc$ e $\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$ são equivalentes para qualquer número negativo $c$. Note que, nesse caso, são alterados os sentidos das desigualdades com a multiplicação e a divisão.
• Simplificar as expressões em cada lado de uma inequação.

Podemos ainda adaptar essas propriedades para contemplar os demais tipos de desigualdades. Agora, apliquemos as propriedades na identificação da solução da inequação seguinte.

$x+2$	$<$	$4x+8$	Subtraia $4x$ de ambos os lados.
$x+2-4x$	$<$	$4x+8-4x$
$-3x+2$	$<$	$8$	Subtraia $2$ de ambos os lados.
$-3x$	$<$	$6$	Divida ambos os membros por $-3$.
$-\frac{3x}{-3}$	$>$	$\frac{6}{-3}$
$x$	$>$	$-2$

Portanto, a solução para o problema é $x>-2$. Note que a divisão por $-3$ ocasiona a mudança da desigualdade $<$ para $>$, isso ocorre sempre que ocorrer uma multiplicação ou uma divisão envolvendo um número negativo. Se o estudo toma por base o conjunto de números reais, podemos exibir o conjunto solução, formado por todas as soluções do problema, da seguinte forma $S=\left\{x\in \mathrm{ℝ};x>-2\right\}$. A representação gráfica para essa solução está contemplada na Figura 1.

Vejamos agora o caso de uma inequação de 1º grau que envolve duas variáveis, como é o caso de $x+y-1<0$. Nessa situação, iniciamos pelo ajuste da inequação para $y<-x+1$, isolando $y$. Agora vamos representar a reta $y=-x+1$ graficamente, sabendo que ela contém os pontos $\left(\mathrm{1,0}\right)$ e $\left(\mathrm{0,1}\right)$ (basta assumir um valor para  na equação e encontrar o $y$ correspondente), como indicado na Figura 2(a). Como temos uma desigualdade do tipo “menor que”, os pontos da reta não farão parte da solução, então vamos representá-la tracejada. Agora, como queremos $y<-x+1$, observamos que a região em que os pares ordenados atendem esse critério é abaixo da reta, portanto, a solução para essa inequação corresponde à região hachurada da Figura 2(b).

Com base nas equações e inequações, podemos construir modelos e solucionar problemas diversos, envolvendo tanto os conjuntos discretos quanto os não discretos. 

Vamos Exercitar?

Com base no estudo das equações e inequações, principalmente as de 1º grau, analisemos as propostas de salário para a empresa de tecnologia. Representando por  o número de atendimentos feitos por mês, o salário conforme cada proposta pode ser calculado pelas expressões:

• Proposta I: salário fixo de R$ 1600,00, além de um bônus de R$ 7,00 por cada atendimento realizado no mês, então temos a expressão .
• Proposta II: salário fixo de R$ 1800,00, além de um bônus de R$ 5,00 por cada atendimento realizado no mês, donde segue a expressão .

Para comparar as propostas, vamos analisar inicialmente quantos atendimentos precisam ser feitos para que o funcionário receba o mesmo salário segundo cada proposta. Para isso, vamos resolver a equação linear:

$7x+1600=5x+1800$

$7x-5x=1800-1600$

$2x=200$

$x=100$

Logo, se forem feitos 100 atendimentos no mês, o salário obtido pelo funcionário será o mesmo nas duas propostas.

Vejamos em que condição a proposta I é a melhor opção para a empresa, isto é, quando $7x+1600<5x+1800$. Resolvendo a inequação:

$7x+1600<5x+1800$

$7x-5x<1800-1600$

$2x<200$

$x<100$

Portanto, a proposta I é a melhor opção se forem feitos menos do que 100 atendimentos no mês, e a II é a melhor opção para o caso de o número de atendimentos for superior a 100. Com isso, é possível fazer a tomada de decisão e, portanto, solucionar o problema. 

Saiba Mais

Uma sugestão de livro para o estudo de equações é Pré-Cálculo, de Fred Safier. No capítulo 5 Equações lineares e não lineares, entre as páginas 29 e 31, até o trecho antes do tópico Equações contendo radicais, você poderá conferir os principais conceitos e exemplos de resolução de equações de primeiro e segundo grau.

A segunda sugestão de livro para o aprofundamento no estudo de equações e inequações é Pré-Cálculo, de Francisco M. Gomes. Na seção 2.4 Equações lineares, entre as páginas 108 a 114, você poderá conferir exemplos de aplicações das equações lineares na modelagem e resolução de problemas. Já na seção 2.8 Inequações, da página 140 até a 148, são discutidas sobre as inequações e suas soluções.

Por fim, o livro Fundamentos de matemática para engenharias e tecnologias, de Giácomo A. Bonetto e Afrânio C. Murolo, também é uma referência interessante para o estudo de equações e inequações. Nas seções 1.4 Equação do primeiro grau e 1.5 Equação do segundo grau, no trecho entre as páginas 19 a 25, você poderá aprofundar seus estudos na resolução de equações, enquanto na seção 1.7 Desigualdades e inequações do primeiro grau, entre as páginas 29 a 32, o foco são as inequações e as propriedades correspondentes.

 

 

Referências Bibliográficas

ADAMI, A. M.; FILHO, A. A D.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2015.

BONETTO, G. A.; MUROLO, A. C. Fundamentos de matemática para engenharias e tecnologias. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018.

GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018.

MEDEIROS, V. Z. et al. Pré-Cálculo. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2013.

SAFIER, F. Pré-Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2011. 

Potências e logaritmos

Olá, estudante! Nesta aula você conhecerá as potências e os logaritmos, bem como suas propriedades.
Este conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois fenômenos que apresentam um crescimento muito rápido são comumente estudados com base no conceito de potências. Ainda, para a resolução de problemas que envolvem as potências, geralmente recorremos a estratégias que se utilizam dos logaritmos e de suas propriedades.
Prepare-se para essa jornada de conhecimento!
 

Ponto de Partida

Desejamos boas-vindas a você, estudante! Nesta aula vamos estudar as definições e propriedades associadas à potenciação e à radiciação. Essas duas operações estão intimamente relacionadas entre si e, juntamente com as quatro operações básicas, formam um conjunto essencial de operações para solucionar os mais variados problemas que possam ser modelados matematicamente e/ou que se utilizem do conjunto de números reais e suas propriedades.

Para esse estudo, vamos refletir inicialmente sobre o contexto descrito no que segue, tendo como referência principalmente o conceito de potência. Em certo estudo, um pesquisador está investigando as substâncias que são produzidas por certo tipo de bactéria. Para isso, inicialmente, ele dispôs em um ambiente controlado uma bactéria desse tipo e percebeu que, a cada 40 minutos, a quantidade de bactérias duplica. Se ele iniciou essa cultura às 9h, em qual horário a quantidade de bactérias nessa cultura será igual a 2048 indivíduos? E qual será a quantidade de bactérias presentes na cultura às 13h40? Considere que, ao longo de todo esse estudo, não houve a perda de nenhum dos indivíduos.

Quais são os conceitos necessários para a solução desse problema? Prossiga em seus estudos e confira os principais conceitos relacionados às potências e aos logaritmos. 

Vamos Começar!

A potenciação é uma operação envolvendo números reais e que é aplicada em diversos estudos, principalmente quando trata de fenômenos sujeitos a crescimentos ou decrescimentos rápidos. Vejamos os conceitos essenciais para o trabalho com as potências e suas propriedades.

Para o estudo das potências e suas propriedades, vamos separar os possíveis casos em categorias, de acordo com conjunto empregado na descrição dos expoentes.

Potências com expoentes inteiros e suas propriedades

Vamos analisar separadamente os valores positivos e negativos para os expoentes inteiros. Primeiramente, podemos entender a potência de expoente natural, ou inteiro positivo, como uma multiplicação de fatores iguais. Assim, sendo $a$ um número real e $n$ um inteiro positivo, denominamos de potência de base $a$ e expoente $n$ ao número $a^n$, que pode ser representado por:

$a^n=\underset{n \mathrm{fatores}}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$

Por exemplo, $2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ e ${\left(-1\right)}^4=\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)=1$. Além disso, quando tomamos um número real $a$ não nulo, podemos afirmar que $a^0=1$. É necessário adotar $a\ne 0$ porque $0^0$ não é um resultado definido na Matemática, sendo conhecido como indeterminação.

Observação: por exemplo, ao denotar a potência ${\left(\mathrm{1,3}\right)}^3$, podemos utilizar os parênteses para que não haja dúvidas que a base é o número $\mathrm{1,3}$ e o expoente é o $3$.

Em relação aos expoentes inteiros negativos, a partir deles também podemos construir potências, mas com uma interpretação diferente. Nesse caso, seja $a$ um número real diferente de zero e $n$ um número inteiro positivo, logo, $-n$ é um inteiro negativo. A partir desses números, podemos definir a potência $a^{-n}$, a qual pode ser escrita como:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Por exemplo, $3^{-4}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=\frac{1}{81}$.

Consideremos agora dois números reais $a$ e $b$ diferentes de zero, bem como $m$ e $n$ números inteiros. Dessa forma, são válidas as propriedades indicadas na Tabela 1.

Propriedade	Exemplo
I. Produto de potências de mesma base: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$	$4^3\cdot 4^{-2}=4^{3+\left(-2\right)}=4^1$
II. Quociente de potências de mesma base: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$	$\frac{{\left(\mathrm{0,5}\right)}^7}{{\left(\mathrm{0,5}\right)}^4}={\left(\mathrm{0,5}\right)}^{7-4}={\left(\mathrm{0,5}\right)}^3$
III. Potência de potência: ${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}$	${\left(5^3\right)}^{-2}=5^{3\cdot (-2)}=5^{-6}$
IV. Potência de produto: ${\left(a\cdot b\right)}^m=a^m\cdot b^m$	${\left(\frac{1}{2}\cdot 9\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot 9^2$
V. Potência de quociente: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$	${\left(\frac{4}{\mathrm{0,2}}\right)}^{-3}=\frac{4^{-3}}{{\left(\mathrm{0,2}\right)}^{-3}}$

Tabela 1 | Propriedades das potências

Podemos empregar essas propriedades em conjunto durante a resolução de problemas, principalmente no caso em que há a necessidade de fazer simplificações em expressões envolvendo potências. Vejamos no exemplo seguinte como podemos empregar essas propriedades na simplificação de uma expressão.

$\frac{x^7{y}^{-5}}{{\left(2x^{2}y\right)}^3}\stackrel{\left(IV\right)}{=}\frac{x^7{y}^{-5}}{2^2{\left(x^2\right)}^3{y}^3}\stackrel{\left(III\right)}{=}\frac{x^7{y}^{-5}}{4x^6{y}^3}=\frac{1}{4}\frac{x^7}{x^6}\frac{y^{-5}}{y^3}\stackrel{\left(II\right)}{=}\frac{1}{4}{x}^{7-6}{y}^{-5-3}=\frac{1}{4}{x}^1{y}^{-8}=\frac{1}{4}x{y}^{-8}$

Potências de expoente racional

Podemos estudar potências cujo expoente é um número racional, em sua forma fracionária. Nesse caso, podemos associar as potências com as raízes. Assim, sendo $a$ um número real e $\frac{m}{n}$ um número racional na forma fracionária, ou seja, com $m$ e $n$ números inteiros e $n\ne 0$, teremos a potência:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Ou seja, quando temos o caso das potências de expoente racional, podemos associá-las às raízes. Por exemplo, $5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$ e  $\sqrt[4]{2^3}=\sqrt[4]{8}$.

Dessa forma, o estudo da potenciação é essencial quando precisamos representar e solucionar problemáticas que lidam com questões envolvendo, por exemplo, crescimentos ou decrescimentos rápidos, sendo as propriedades indispensáveis para a solução desses problemas ou mesmo na simplificação de outros nos quais as potências estão presentes. A seguir, avancemos ao estudo dos logaritmos.

Siga em Frente...

Logaritmos

Logaritmo – do Latim: logos significa razão e aritmos, número – foi um termo elaborado por John Napier (1550-1617) para substituir o expoente em uma potência que representa uma multiplicação de fatores iguais. Por exemplo, no caso de $2^3=8$, 3 é o logaritmo de 8 na base 2. Com a definição formal de logaritmo foi possível estender essa ideia para os expoentes reais como um todo.

A proposta com a construção dos logaritmos era a de tornar cálculos mais complexos, como as multiplicações e as divisões, em problemas mais simples, envolvendo adições e subtrações. Esse recurso foi desenvolvido por volta do século XVII e teve uma grande contribuição para o desenvolvimento tecnológico e científico da época.

O logaritmo do número $b$ na base $a$ resulta em um número $c$ e pode ser descrito na forma ${\log }_{a}b=c$, com $a>0$, $b>0$ e $a\ne 1$. Nessa expressão, temos que $a$  corresponde à base, b é o logaritmando e $c$ é o logaritmo.

Por definição, o logaritmo de $b$ na base $a$ consiste no expoente ao qual devemos elevar a base $a$ para que o resultado seja $b$, assim, podemos estabelecer a seguinte correspondência:

${\log }_{a}b=c \iff a^c=b$

Por exemplo, a expressão ${\log }_{2}5=x$ é equivalente a $2^x=5$.

Para calcular os logaritmos, podemos empregar diferentes estratégias, de acordo com o perfil de cada expressão. Uma delas toma por referência a relação apresentada anteriormente envolvendo as potências. Queremos calcular ${\log }_{2}8$. Para isso, vamos empregar a seguinte estratégia:

${\log }_{2}8=x \iff 2^x=8$

Note que a última expressão corresponde a uma equação exponencial, a qual podemos resolver por meio da igualdade de potências de mesma base. Assim,

$2^x=8 \iff 2^x=2^3 \iff x=3$

Portanto, ${\log }_{2}8=3$.

A estratégia descrita anteriormente é válida quando é possível resolver a equação exponencial correspondente por meio do método de igualdade entre potências de mesma base. Os resultados obtidos podem ainda ser empregados no cálculo de expressões como em ${\log }_{2}32+{\log }_{3}27$. Nesse caso, como ${\log }_{2}32=5$ e ${\log }_{3}27=3$, podemos concluir que ${\log }_{2}32+{\log }_{3}27=5+3=8$.

Agora, considerando $a>0$, $a\ne 1$, bem como $x>0$ e $y>0$,vejamos algumas consequências da definição de logaritmo.

• ${\log }_{a}a=1$, pois $a^1=a$.
• ${\log }_{a}1=0$, pois $a^0=1$.
• ${\log }_a{a}^n=n$, pois $a^n=a^n$ para todo $n$.
• ${\log }_{a}x={\log }_{a}y\iff x=y$.
• $a^{{\log }_{a}x}=x$, pois ${\log }_{a}x=y\Rightarrow a^y=x$, então substituindo $y$ obtemos $a^{{\log }_{a}x}=x$.

Vamos analisar alguns exemplos associados à definição de logaritmo e às consequências apresentadas.

• $lo{g}_{3}27=3$ porque $3^3=27$.
• ${\log }_{\frac{1}{2}}\mathrm{0,25}=2$ porque ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$.
• ${\log }_2\left(-4\right)$ não existe porque não existe expoente $n$ para o qual $2^n=-4$.
• ${\log }_{2}1=0$ porque $2^0=1$.
• ${\log }_{3}3=1$ porque $3^1=3$.

Analisemos agora algumas propriedades operatórias envolvendo logaritmos, as quais são essenciais no cálculo e na simplificação de expressões que contenham esse tipo de termo. As propriedades são indicadas na Tabela 2 a seguir, para $a>0, a\ne 1, b>0$e $c>0$.

Propriedade	Exemplo
I. Logaritmo de produto: ${\log }_a\left(b\cdot c\right)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$	${\log }_{2}96+{\log }_2\frac{1}{3}={\log }_2\left(96\cdot \frac{1}{3}\right)={\log }_{2}32=5$
II. Logaritmo de quociente: ${\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$	${\log }_{3}45-{\log }_{3}5={\log }_3\left(\frac{45}{5}\right)={\log }_{3}9=2$
III. Logaritmo de potência: ${\log }_a{b}^k=k\cdot {\log }_{a}b$	${\log }_2{8}^5=5\cdot {\log }_{2}8=5\cdot 3=15$

Tabela 2 | Propriedades dos logaritmos

Outra possibilidade é o emprego dessas propriedades em expressões envolvendo incógnitas. Por exemplo:

${\log }_3\left(3x\right)={\log }_{3}3+{\log }_{3}x=1+{\log }_{3}x$

No estudo dos logaritmos, podemos destacar a utilização de duas bases específicas, a base 10 e a base $e$, construída a partir do número de Euler. Uma importância dessas bases consiste no fato de que muitas calculadoras científicas trazem os resultados dos logaritmos apenas nessas duas bases.

Quando adotamos a base 10 na construção de um logaritmo, dizemos que estamos estudando um logaritmo decimal. Geralmente, para essa base, escrevemos o logaritmo omitindo sua base. Assim, ao invés de escrever ${\log }_{10}x$, utilizamos a notação $\log x$. Subentende-se, por essa escrita, que se trata de um logaritmo decimal, ou de base 10. Para a utilização de calculadoras científicas, nesse caso, utilizamos a tecla:  

log

Assim, por exemplo, o valor aproximado para $\log \mathrm{3,56}$ é 0,5514, considerando apenas quatro casas decimais.

Observação: para calcular $\log \mathrm{3,56}$ na calculadora basta utilizar as seguintes teclas, nesta ordem:

log

3

.

5

6

=

Outro caso envolve o emprego do número $e$. Quando construímos um logaritmo cuja base é o número de Euler, ou número $e$, dizemos que estamos estudando um logaritmo natural ou neperiano. Nesse caso, ao invés de usar a notação ${\log }_{e}x$, adotamos a escrita $\ln x$. A expressão ln é utilizada apenas para o logaritmo de base $e$. Na calculadora científica, o cálculo do logaritmo natural de um número é feito utilizando a tecla:

In

Por exemplo, $\ln 15\approx \mathrm{2,708}$.

Observação: para calcular $\ln 15$ na calculadora basta utilizar as seguintes teclas, nesta ordem:

In

1

5

=

Todas as propriedades válidas para os logaritmos podem ser adaptadas para os casos dos logaritmos decimais e naturais, considerando inclusive as mudanças nas notações.

Vejamos alguns exemplos de cálculos considerando os logaritmos decimais e naturais.

• $\log 10=1$, porque ${10}^1=10$.
• $\ln 1=0$, porque $e^0=1$.
• $\log 1000=\log {10}^3=3$.
• $e^{\ln 2}=2$.
• $\log \mathrm{0,01}=\log {10}^{-2}=-2$.
• $\log 5+\log 20=\log \left(5\cdot 20\right)=\log 100=\log {10}^2=2$.

O uso de calculadoras científicas é bastante comum no estudo dos logaritmos, pois em muitos casos temos apenas aproximações para os resultados, especificamente quando não conseguimos converter $lo{g}_{a}b=x$ em uma equação exponencial $a^x=b$ que possa ser solucionada por meio da igualdade de potências de mesma base.

De posse da definição e das propriedades apresentadas, podemos articular os logaritmos às potências de modo a desenvolver estratégias de simplificação e resolução de problemas que possam ser representados por meio desses conceitos. 

 

 

    

Vamos Exercitar?

Para a solução do problema envolvendo a cultura de bactérias, precisamos inicialmente construir um modelo matemático correspondente. Sabemos que no instante inicial, , a quantidade de bactérias é igual a $q\left(0\right)=1$. A cada 40 minutos, a quantidade de bactérias duplica. Assim, para esse estudo, vamos considerar que a variável $t$ indica a quantidade de períodos de 40 minutos, contados a partir do instante inicial (9h). Com isso, podemos construir a Tabela 3 para evidenciar as quantidades observadas nos primeiros momentos.

Tempo ($t$)	Quantidade de bactérias ($q$)
0	$1=2^0$
1	$2=2^1$
2	$4=2^2$
3	$8=2^3$

Tabela 3 | Evolução da quantidade de bactérias

Dessa forma, podemos relacionar as variáveis$t$e $q$ por meio da expressão $q=2^t$. Para a primeira questão, devemos determinar $t$ para o qual $q=2048$, isto é, $2048=2^t$. Como $2048=2^{11}$, então $t=11$. Ou seja, após 11 períodos de 40 minutos a quantidade de bactérias será de 2048, o que corresponde a 7 horas e 20 minutos. Assim, esse total será obtido às 16h20.

Queremos determinar a quantidade às 13h40, isto é, a quantidade após 4 horas e 40 minutos, ou ainda, após 7 períodos de 40 minutos. Como $2^7=128$, então a quantidade de bactérias às 13h40 será de 128, o que conclui a solução do problema. 

Saiba Mais

Para o estudo das potências e suas propriedades, consulte a seção 1.8, intitulada Potências, localizada entre as páginas 58 e 65, do livro Pré-Cálculo, de Francisco M. Gomes. No trecho destacado você encontrará conceitos importantes e exemplos associados a diferentes contextos para as potências.

Outra sugestão para o estudo das potências, bem como dos logaritmos, é o livro Pré-Cálculo, de Adriana M. Adami, Adalberto A. D. Filho e Magda M. Lorandi. Para o estudo das potências, consulte a seção 1.5 Potenciação, localizada entre as páginas 8 a 10. Já para os logaritmos, consulte a seção 7.3 Logaritmos e as funções logarítmicas, entre as páginas 116 e 119. Em ambos os trechos você poderá identificar diversos conceitos, propriedades e exemplos importantes associados aos temas em discussão.

Outra sugestão é o livro Fundamentos de matemática para engenharias e tecnologias, de Giácomo A. Bonetto e Afrânio C. Murolo. Na seção 7.1 Logaritmos, entre as páginas 154 e 157, e na seção 7.2 Base 10 e base e, entre as páginas 157 e 161, são apresentados os conceitos iniciais envolvendo os logaritmos, com exemplos e discussão sobre as propriedades correspondentes.

 

 

Referências Bibliográficas

ADAMI, A. M.; FILHO, A. A D.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2015.

BONETTO, G. A.; MUROLO, A. C. Fundamentos de matemática para engenharias e tecnologias. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018.

GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018.

MEDEIROS, V. Z. et al. Pré-cálculo. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2013.

SAFIER, F. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2011. 

Tópicos de trigonometria

Olá, estudante! Nesta aula você conhecerá alguns tópicos relacionados à trigonometria, com destaque para o estudo dos triângulos retângulos em conjunto com o teorema de Pitágoras e as razões trigonométricas.

Este conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois possibilita, entre outros, o estudo de fenômenos periódicos, de problemas que envolvem distâncias inacessíveis, entre outros problemas que possam ser associados, por exemplo, às propriedades dos triângulos retângulos.

Prepare-se para essa jornada de conhecimento! Vamos lá!

Ponto de Partida

Desejamos boas-vindas a você! Nesta aula discutiremos a respeito de tópicos iniciais envolvendo a trigonometria, os quais são base para estudos posteriores envolvendo as razões e funções trigonométricas.

De acordo com Young (2017), a palavra trigonometria tem origem no grego, de modo que trigonon significa triângulo e metrein, medir. Isto é, a trigonometria é o campo responsável pelo estudo de medidas associadas a triângulos. Assim, os conceitos básicos que precisamos envolvem a caracterização dos triângulos, sua classificação – com enfoque nos triângulos retângulos –, bem como o conhecimento do teorema de Pitágoras e das razões trigonométricas.

Para contribuir com o estudo dessa temática, avaliemos a situação a seguir. De acordo com a norma NBR 9050, que dispõe a respeito da acessibilidade em edificações, mobiliários, espaços e equipamentos urbanos, estabelecida pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), a inclinação das rampas pode variar de 5% até 8,33%, podendo exceder em caso de reformas, mas atingindo o máximo de 12,5%.

Suponha que será instalada uma rampa de acesso a uma agência bancária, de modo que atenda à norma apresentada. Para isso, como a rampa precisa atender um desnível de 50 cm, ficou estabelecido que o ângulo de inclinação da rampa deve ser de 6°. Adotando as aproximações $sen(6°)=0,1$ e $\cos (6°)=0,99$, determine qual deve ser o comprimento dessa rampa e qual a distância horizontal ocupada por ela. Como podemos solucionar esse problema?

Assim, dê continuidade aos seus estudos, conferindo os conceitos essenciais para a solução dessa problemática. 

Vamos Começar!

Uma das principais figuras geométricas estudadas no campo da Matemática é o triângulo, um polígono formado por três lados e que apresenta uma estrutura rígida, isto é, não pode ser deformado mediante a aplicação de forças sobre seus vértices, por isso é bastante empregado, por exemplo, em estruturas de sustentação, como em telhados. Vamos iniciar conhecendo as características dessa figura geométrica.

Triângulos

O triângulo é um polígono formado por três vértices, denotados por $A$,  $B$ e $C$ na Figura 1(a) de referência, possuindo também três lados, os quais são representados pelos segmentos de reta $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$. Perceba que o lado $\overline{BC}$ é oposto ao vértice $A$, $\overline{AC}$ é oposto ao vértice $B$ e $\overline{AB}$ é oposto ao vértice $C$. Podemos ainda denotar os lados a partir de letras minúsculas $a$, $b$ e $c$, indicados na figura. 

Ainda com base na Figura 1(a), a partir de cada vértice podemos identificar um ângulo interno e um externo. Os ângulos $\hat{A}$, $\hat{B}$ e $\hat{C}$ correspondem aos ângulos internos do triângulo, enquanto $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ são os ângulos externos do triângulo. É importante destacar que nos triângulos é válida a seguinte igualdade: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$, isto é, a soma dos ângulos internos é igual a $180°$.  Outras características interessantes dos triângulos é que esse é o único polígono que não possui diagonais, e é tal que a medida de um lado é sempre menor do que a soma das medidas dos outros dois lados. Dos casos especiais de triângulos, podemos destacar a categoria dos triângulos retângulos, os quais possuem um dos ângulos internos de medida 90°, conforme exemplo presente na Figura 1(b).

Conhecendo as características dos triângulos, principalmente dos triângulos, especialmente dos retângulos, vamos prosseguir ao estudo do teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras recebeu essa nomenclatura em homenagem a um grande matemático grego da Antiguidade, Pitágoras, fundador da Escola Pitagórica e que ensinava aritmética, geometria, música, religião, entre outros.

O teorema de Pitágoras é aplicado somente a triângulos retângulos, isto é, aos triângulos que apresentam um ângulo interno de medida 90°. Seja um triângulo retângulo , conforme a Figura 2(a). Nessa figura, o ângulo de 90° está localizado no vértice $A$, sendo o lado $\overline{)BC}$ oposto a ele denominado hipotenusa. Os outros dois lados, $\overline{)AB}$ e $\overline{)AC}$, são chamados de catetos do triângulo.

O teorema de Pitágoras afirma que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos, o que simbolicamente podemos representar pela expressão $a^2=b^2+c^2$. Note que a Figura 2(b) traz uma interpretação para essa expressão, em que os quadrados das medidas estão vinculados às áreas de quadrados. Nesse sentido, a área do quadrado de lado sendo a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados formados a partir dos catetos do triângulo.

Por exemplo, se um triângulo retângulo tem os catetos de medidas $b=3 cm$e $c=4\mathrm{ }\mathrm{cm}$, então a medida de sua hipotenusa  pode ser calculada por:

$a^2=3^2+4^2 \Rightarrow a^2=9+16=25 \Rightarrow a=\sqrt{25}=5 \mathrm{cm}$

Essa estratégia pode ser empregada também com hipotenusa e um dos catetos conhecidos para a determinação da medida do outro cateto. Assim, o teorema de Pitágoras é um resultado que pode ser empregado apenas com triângulos retângulos e que permite, a partir das medidas de dois lados conhecidas, identificar a medida do terceiro lado do triângulo.

Agora, para iniciar os estudos a respeito das razões trigonométricas, precisamos identificar quais são as unidades de medidas adotadas para os ângulos, como segue.

Siga em Frente...

Graus e radianos

Graus (°) e radianos (rad) são duas unidades de medidas utilizadas para ângulos.

Podemos associar 1° com a fração $\frac{1}{360}$ de um círculo, visto que os ângulos construídos a partir de um círculo variam de 0° a 360°. Por sua vez, o radiano é definido como a razão entre o comprimento do arco e o comprimento do raio do círculo, conforme indicações presentes na Figura 3, e, nesse caso, associamos o círculo completo à medida $2\pi$ rad.

Diante dessas informações, podemos estabelecer a correspondência $360°=2\pi \mathrm{rad}$, ou ainda, dividindo ambos os membros por 2, $180°=\pi \mathrm{rad}$. Estabelecendo uma relação de proporcionalidade, podemos identificar o correspondente em radianos $\phi \left(rad\right)$ para uma medida em graus $\alpha (°)$ por meio da seguinte relação:

$\phi \left(rad\right)=\alpha \left(°\right)\cdot \frac{\pi }{180}$

Por exemplo, para a medida $\alpha =30°$, a representação correspondente em radianos é:

$\phi =30\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{30\pi }{180}=\frac{3\pi }{18}=\frac{\pi }{6} \mathrm{rad}$

A partir das unidades de medidas de ângulos, vamos estudar a seguir as razões trigonométricas.

Razões trigonométricas

Seja inicialmente um triângulo retângulo ABC, de acordo com a Figura 4. O lado oposto ao ângulo reto (90°) é denominado hipotenusa e cada um dos outros dois lados do triângulo é chamado de cateto. Fixando um dos ângulos agudos internos, o qual representaremos por , o lado oposto a ele será chamado de cateto oposto, enquanto o outro cateto passa a receber o nome cateto adjacente. Essa diferenciação entre cateto oposto e cateto adjacente só pode ser feita desde que seja fixado um dos ângulos agudos interno ao triângulo.

Na Figura 4, ainda adotamos as representações $a$ como a medida de comprimento da hipotenusa, $b$ como a medida do cateto oposto e $c$ a medida do cateto adjacente. A partir dessas medidas, vamos à definição das razões trigonométricas associadas a esse triângulo.

• O seno do ângulo $\alpha$ corresponde na razão entre a medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa do triângulo. Assim,

$\mathrm{sen}\left(\alpha \right)=\frac{\mathrm{cateto}\mathrm{ }\mathrm{oposto}}{\mathrm{hipotenusa}}=\frac{b}{a}$

• O cosseno do ângulo $\alpha$ corresponde na razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa do triângulo. Assim,

$\cos \left(\alpha \right)=\frac{\mathrm{cateto}\mathrm{ }\mathrm{adjacente}}{\mathrm{hipotenusa}}=\frac{c}{a}$

• A tangente do ângulo $\alpha$ corresponde na razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente do triângulo. Assim,

$\mathrm{tg}\left(\alpha \right)=\frac{\mathrm{cateto}\mathrm{ }\mathrm{oposto}}{\mathrm{cateto}\mathrm{ }\mathrm{adjacente}}=\frac{b}{c}$

Vejamos o exemplo do triângulo da Figura 5. Observe que ele é um triângulo retângulo, em que o ângulo reto está localizado no vértice A. A hipotenusa corresponde ao lado $BC$, o cateto oposto ao ângulo $\alpha$ é o lado $AB$ e o cateto adjacente a $\alpha$ é o lado $AC$.

Em relação às razões trigonométricas teremos:

$\mathrm{sen}\left(\alpha \right)=\frac{5}{13} \cos \left(\alpha \right)=\frac{12}{13} \mathrm{tg}\left(\alpha \right)=\frac{5}{12}$

Note que as razões trigonométricas são valores numéricos associados a cada ângulo interno do triângulo cuja medida seja inferior a 90°.

Existem alguns ângulos chamados de notáveis, visto sua aplicabilidade prática. Considerando as possíveis medidas para os ângulos internos de um triângulo, os ângulos notáveis que podemos destacar são 30°, 45° e 60°. Para eles, os valores de seno, cosseno e tangente são tabelados, conforme disposto na Tabela 1. Poderíamos utilizar também as medidas dos ângulos em radianos, assim teríamos $30°=\frac{\pi }{6} rad$, $45°=\frac{\pi }{4} rad$ e $60°=\frac{\pi }{3} rad$.

Ângulos	30°	45°	60°
Seno	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
Cosseno	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
Tangente	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

Tabela 1 | Ângulos notáveis. Fonte: Gomes (2018, p. 466).

Por exemplo, se em um triângulo retângulo um dos ângulos internos mede 45°, sabemos que $\mathrm{sen}\left(45°\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \left(45°\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $tg(45°)=1$. Com isso, além de avaliar os valores associados às razões trigonométricas, também podemos solucionar alguns problemas envolvendo, por exemplo, medidas de lado desconhecidas.

Quando precisamos lidar com ângulos diferentes dos notáveis, usualmente utilizamos a calculadora científica. Para calcular, por exemplo, o seno de 32° basta utilizarmos as seguintes teclas, nesta ordem:    

sin

+

3

+

2

+

=

Isso resultará em $\mathrm{sen}\left(32°\right)\approx \mathrm{0,53}$.

O termo “sin” é a representação em língua inglesa para o seno, por isso geralmente essa é a representação adotada nas calculadoras científicas. Também temos que o termo “tan” se refere à representação em língua inglesa para a tangente.

Atenção! Quando recorremos às calculadoras científicas, podemos trabalhar tanto com os ângulos medidos em graus quanto em radianos. Por isso, é preciso conferir em qual unidade de medida a calculadora está configurada.

Associados a essas razões trigonométricas, podemos definir ainda razões trigonométricas inversas. Retomando a Figura 4, podemos definir:

• A secante de um ângulo consiste na razão inversa do cosseno: $\sec \left(\alpha \right)=\frac{a}{c}=\frac{1}{c/a}=\frac{1}{\cos \left(\alpha \right)}$. 
• A cossecante de um ângulo é a razão inversa do seno: $\mathrm{cossec}\left(\alpha \right)=\frac{a}{b}=\frac{1}{b/a}=\frac{1}{\mathrm{sen}\left(\alpha \right)}$.
• A cotangente de um ângulo é a razão inversa da tangente: $\mathrm{cotg}\left(\alpha \right)=\frac{c}{b}=\frac{1}{b/c}=\frac{1}{\mathrm{tg}\left(\alpha \right)}$.

Por meio das razões trigonométricas, podemos fazer estudos de problemas diversos, mas desde que seja possível recorrer às representações via triângulos retângulos, com o intuito de fazer as associações das dimensões com as classificações dos lados do triângulo e, assim, identificar as incógnitas dos problemas, associando-as às soluções dos problemas reais correspondentes. 

Vamos Exercitar?

Para a construção da rampa de acesso, ficou definido que o ângulo de inclinação deve ser de 6° e que o desnível a ser atendido por essa rampa é de 50 cm. Podemos representar essa situação a partir da Figura 6.

Queremos calcular o comprimento $c$ da rampa e a distância horizontal $d$ ocupada por ela. Para isso, adotemos as aproximações $sen(6°)=0,1$e $\cos \left(6°\right)=\mathrm{0,99}$.

Iniciando pelo cálculo do comprimento da rampa, recorrendo ao seno, obtemos:

$\mathrm{sen}\left(6°\right)=\frac{50}{c} \Rightarrow \mathrm{0,1}=\frac{50}{c} \Rightarrow c=\frac{50}{\mathrm{0,1}}=500 cm=5 m$

Logo, a rampa deve ter 5 m de comprimento. Agora, com esse valor podemos calcular a distância horizontal, recorrendo ao cosseno:

$\cos (6°)=\frac{d}{500} \Rightarrow \mathrm{0,99}=\frac{d}{500} \Rightarrow d=\mathrm{0,99}\cdot 500=495 cm=\mathrm{4,95} m$

Portanto, a distância horizontal ocupada pela rampa é de 4,95 m, o que conclui a resolução do problema. 

 

Saiba Mais

Para aprofundar os estudos a respeito dos triângulos, consulte o livro Geometria plana e trigonometria, de Nelson P. Castanheira e Álvaro E. Leite. No capítulo 4 Triângulos, entre as páginas 65 e 70 e entre as páginas 82 e 87, são apresentados os conceitos iniciais sobre os triângulos, inclusive com as classificações e a semelhança de triângulos. Já no capítulo 5 Triângulos retângulos, entre as páginas 93 e 101, o foco se dá sobre o triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras e as relações métricas.

Como referência para o estudo das razões trigonométricas, sugerimos o livro Fundamentos de matemática para engenharias e tecnologias, de Giácomo A. Bonetto e Afrânio C. Murolo. Na seção 8.1 Trigonometria no triângulo retângulo, entre as páginas 172 a 176, você poderá conferir outros exemplos envolvendo as razões trigonométricas no contexto dos triângulos retângulos.

Uma segunda sugestão é a obra Matemática com aplicações tecnológicas: matemática básica, de Seizen Yamashiro e Suzana A. de O. Souza. No capítulo 10 Trigonometria, no trecho entre as páginas 173 a 176, você poderá conferir uma discussão sobre os elementos do triângulo retângulo, as razões trigonométricas, bem como os ângulos notáveis de 30°, 45° e 60°.

 

 

 

 

Referências Bibliográficas

BONETTO, G. A.; MUROLO, A. C. Fundamentos de matemática para engenharias e tecnologias. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018.

CASTANHEIRA, N. P.; LEITE, Á. E. Geometria plana e trigonometria. 1. ed. Curitiba: Intersaberes, 2014.

GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018.

YAMASHIRO, S.; SOUZA, S. A. de O. Matemática com aplicações tecnológicas: matemática básica. v. 1. São Paulo: Editora Blucher, 2014.

YOUNG, C. Y. Álgebra e trigonometria. v. 1. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.

Videoaula de Encerramento

Olá, estudante! Por meio desta aula você poderá retomar os principais conceitos envolvendo os conjuntos numéricos e suas operações, a resolução de equações e inequações, o estudo das potências e dos logaritmos em conjunto com suas propriedades, além de tópicos importantes da Trigonometria.

Este conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois compõe um alicerce essencial para a construção de modelos para interpretação e resolução dos mais variados problemas.

Prepare-se para essa jornada de conhecimento! Vamos lá!

Ponto de Chegada

Para desenvolver a competência desta Unidade, que é compreender os principais aspectos relacionados aos conjuntos numéricos, às equações e à trigonometria para resolver problemas em diferentes contextos, você deverá primeiramente conhecer os conceitos fundamentais da Teoria de Conjuntos, especificamente direcionados aos conjuntos numéricos, suas operações e propriedades.

De posse desses conhecimentos, um outro assunto relevante à sua formação é a compreensão do conceito de equação e das estratégias para solucionar equações de 1º e 2º graus, além das inequações de 1º grau, considerando sua aplicabilidade na modelagem e representação de fenômenos provenientes dos mais variados contextos.

Outro tema indispensável para a aplicação da Matemática é o conhecimento das potências e dos logaritmos, tanto em relação às suas características específicas quanto em relação à associação que pode ser estabelecida entre esses dois conceitos. Fenômenos que envolvem crescimentos e decrescimentos rápidos são usualmente vinculados a potências e, tendo em vista sua conexão com os logaritmos, é um dos tópicos importantes quando pensamos na resolução de problemas provenientes das mais variadas áreas.

Por fim, outro tópico essencial é a Trigonometria, com enfoque nos triângulos retângulos e nos estudos desenvolvidos a partir dessa figura, como é o caso do teorema de Pitágoras e das razões trigonométricas, em conjunto com suas múltiplas aplicações. 

Reflita Quais as estratégias utilizadas na resolução de equações lineares e quadráticas? Quais relações podemos estabelecer entre potências e logaritmos? Em quais tipos de problemas podemos empregar os conceitos de Trigonometria?

É Hora de Praticar!

Suponha que uma instituição de ensino superior está organizando um curso de extensão a respeito de conceitos da Matemática Básica, o qual será oferecido como parte das atividades complementares para diversos cursos.

Esse curso será organizado de forma semelhante a uma disciplina regular, com sistema de avaliação próprio. Nesse curso, a nota final de cada aluno será calculada por:

$N=\frac{2T+3P}{5}$

em que $T$ representa a nota do trabalho e $P$ a nota da prova que precisam ser realizados no curso.

Como a instituição trabalha com conceitos na avaliação dos alunos em cursos de extensão, após o cálculo da nota final, que varia de 0 a 10, será feita uma conversão para um conceito, que varia de A até E, o qual é divulgado no histórico escolar do aluno. A tabela utilizada para conversão é a seguinte:

Intervalo	Conceito
$9\le NF\le 10$	A
$7\le NF<9$	B
$5\le NF<7$	C
$3\le NF<5$	D
$0\le NF<3$	E

Fonte: Gomes (2018, p. 149).

 

Reflita

Com base nas informações apresentadas, responda aos seguintes itens:

1. Se um aluno obtiver nota 7 no trabalho e nota 8 na prova, qual será o conceito registrado em seu histórico escolar?
2. Se um aluno obtiver nota 8 no trabalho, qual deve ser sua nota mínima na prova para que mantenha o conceito A em seu histórico escolar? 

Resolução do estudo de caso

Para o problema das notas dos alunos na instituição de ensino, iniciemos pelo item (a). Consideremos $T=7$ e $P=8$. Aplicando a fórmula para o cálculo das notas, teremos:

$N=\frac{2\cdot 7+3\cdot 8}{5}=\frac{14+24}{5}=\frac{38}{5}=\mathrm{7,6}$

Como $7<7,6<9$, o resultado obtido por esse aluno foi o conceito B.

Em relação ao item (b), o aluno obteve a nota do trabalho igual a 8, então $T=8$. Queremos determinar $P$ de modo que o conceito final seja A, logo, devemos ter $9\le NF\le 10$. Assim,

$9\le NF\le 10$

$9\le \frac{2\cdot 8+3P}{5}\le 10$

$9\le \frac{16+3P}{5}\le 10$

$45\le 16+3P\le 50$

$45-16\le 3P\le 50-16$

$29\le 3P\le 34$

$\frac{29}{3}\le P\le \frac{34}{3}$

$\mathrm{9,67}\le P\le 11$

Sendo assim, a nota mínima que o estudante deve obter na prova é 9,67, o que conclui a resolução do problema. 

 

 

Dê o play!

Assimile

O infográfico a seguir destaca os principais conceitos relacionados aos fundamentos da Matemática e pode ser empregado como um roteiro de estudos sobre esse tema. A partir desse infográfico, a sugestão é que você faça uma complementação, acrescentando observações importantes, fórmulas relevantes, propriedades, entre outros conceitos que considerar relevantes, visando traçar um panorama geral a respeito dos conceitos estudados.

 

Referências

ADAMI, A. M.; FILHO, A. A D.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2015.

BONETTO, G. A.; MUROLO, A. C. Fundamentos de matemática para engenharias e tecnologias. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018.

GOMES, F.M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018.

MEDEIROS, V. Z. et al. Pré-Cálculo. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2013.

SAFIER, F. Pré-Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2011.