Movimento Linear, Impulso e Colisões

Momento linear e impulso

Olá, estudante! Nesta videoaula, você conhecerá como trabalhar com situações nas quais não conseguimos aplicar diretamente as leis de Newton para resolver os problemas propostos. Aprenderemos novos conceitos: momento linear e impulso. O momento linear descreve o estado de movimento de um objeto, enquanto o impulso está relacionado à mudança desse estado de movimento devido à aplicação de uma força ao longo do tempo.

Esse conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois esses conceitos são utilizados para compreender as colisões que ocorrem cotidianamente. Em especial, o conceito de impulso é crucial na compreensão do movimento e das interações entre objetos em Física, sendo especialmente útil ao analisar colisões e movimentos complexos de partículas.

Prepare-se para essa jornada de conhecimento! Vamos lá!

Ponto de Partida

Olá, estudante! Seja bem-vindo!

Em alguns problemas do nosso cotidiano, fica difícil determinar, com precisão, as forças que atuam no sistema envolvido no problema. Por isso, o objetivo desta seção é mostrar situações nas quais não conseguimos aplicar diretamente as leis de Newton para resolver um problema e, por isso, aprenderemos novos conceitos: momento linear e impulso.

Para iniciarmos nosso estudo, propomos o seguinte problema: você foi contratado por uma agência espacial e se tornou responsável pelo monitoramento de cometas. Hoje, você começará a analisar o cometa GO111 que viaja pelo espaço. Esse cometa possui massa de $\mathrm{2,0}\times {10}^{13} kg$ e viaja a $\mathrm{129,6}\times {10}^3 km/h$. Uma sonda espacial, utilizada para exploração remota, deverá interceptar o cometa. A sonda terá a missão de tirar fotos e estudar as características físico-químicas desse cometa. Para alcançá-lo, a sonda espacial, de $1200 kg$, precisa ser impulsionada, ou seja, será necessário ligar o propulsor da sonda para aumentar sua velocidade de $\mathrm{3,5} km/s$ . Hoje, você deve iniciar o monitoramento, calculando e informando ao módulo o impulso total que a sonda deverá sofrer para alcançar o feito e o módulo do momento linear do cometa GO111.

Vamos começar com a teoria? Bons estudos!

Vamos Começar!

Impulso

Quando aplicamos uma força em um corpo, o efeito produzido depende de dois fatores: das características e do tempo de aplicação dessa força. Para estudarmos o efeito da força, levando-se em consideração o tempo de aplicação, devemos estudar a grandeza vetorial chamada de impulso ($\overrightarrow{J}$).

A definição geral de impulso faz uso do conceito de integral. Definimos impulso como a soma de todas as forças que atuam sobre um objeto durante um intervalo de tempo. Para somar forças que variam no tempo, usamos o conceito de integral. Assim:

$\overrightarrow{J}=\sum \overrightarrow{F}∆t \to \overrightarrow{J}=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\overrightarrow{F}\left(t\right)dt$

Para o caso particular em que o corpo está sob ação de uma força constante $\overrightarrow{F}$ durante um intervalo de tempo $∆t$, podemos simplificar a equação dada anteriormente, definindo o impulso ($\overrightarrow{J}$) da força constante $\overrightarrow{F}$ como:

$\overrightarrow{J}=\overrightarrow{F}∆t$

De forma análoga, podemos definir o impulso total sobre uma partícula, levando em consideração a força resultante atuante, ou seja:

${\overrightarrow{J}}_{total}={\overrightarrow{F}}_R∆t$

Observe que o impulso é uma grandeza vetorial, possui módulo, direção e sentido. Como a variação de tempo será sempre um escalar positivo, podemos concluir que a direção e o sentido do impulso são os mesmos da força $\overrightarrow{F}$.

O impulso não é uma grandeza instantânea, é uma grandeza definida para certo intervalo de tempo $∆t$. Quando a força $\overrightarrow{F}$ é variável, podemos calcular o impulso da força média ${\overrightarrow{F}}_m$ em relação ao tempo. Consideramos a ${\overrightarrow{F}}_m$ como sendo uma força constante, capaz de produzir o mesmo impulso da força variável $\overrightarrow{F}$. Portanto, nesse caso:

${\overrightarrow{J}}_{F_m}={\overrightarrow{J}}_F={\overrightarrow{F}}_m∆t$

A unidade do impulso, no SI, é a unidade de força (newton) vezes a unidade de tempo (segundo). Logo: unidade $\left[J\right]=N.s$.

Em resumo, podemos dizer que o impulso e o que faz um objeto acelerar ou desacelerar, ou seja, o impulso é o que faz o objeto mudar sua velocidade.

Exemplo: um objeto de peso de módulo de $150 N$ é lançado verticalmente para cima, atingindo a altura máxima em $\mathrm{2,0} s$. Durante a subida, qual é o módulo do impulso aplicado a esse objeto pela força da gravidade (força peso)?

Resolução: o módulo do impulso da força peso durante a subida é:

$J_{peso}=P∆t \to J_{peso}=150 . \mathrm{2,0} \to J_{peso}=300 N.s$

Observação importante: mudanças no movimento de um objeto dependem tanto da força aplicada como de quão longa é a sua atuação. “Quão longa é a sua atuação” pode significar tempo ou distância. Quando falamos de força e distância, falamos de trabalho. Quando falamos de força e tempo, falamos de impulso.

Momento linear

Considere uma partícula de massa  e de velocidade vetorial $\overrightarrow{v}$. Define-se a grandeza momento linear da partícula ($\overrightarrow{p}$), ou também chamada de quantidade de movimento, como o produto da massa pela velocidade vetorial. Assim:

$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$

O momento linear é uma grandeza vetorial (possui módulo, direção e sentido) e é uma grandeza instantânea. Observe que, como a massa é sempre um escalar positivo, então o momento linear terá sempre a mesma direção e sentido da velocidade vetorial. Em outras palavras, podemos dizer que o momento linear possui sempre o mesmo sentido do movimento. Podemos, também, escrever e obter o momento linear em função das suas projeções.

Em duas dimensões, por exemplo, temos: ${\overrightarrow{p}}_x=m{\overrightarrow{v}}_x$ e ${\overrightarrow{p}}_y=m{\overrightarrow{v}}_y$.

Logo, o momento linear é uma grandeza vetorial que depende da massa e da velocidade do corpo. O momento linear de um carro que se desloca do sul para o norte a $20 m/s$ é diferente do momento linear do carro quando ele se desloca do oeste para leste com a mesma velocidade escalar.

Ainda, uma bola de futebol lançada velozmente por um excelente atacante possui momento linear com módulo maior do que a mesma bola de futebol lançada vagarosamente por uma criança, porque, na primeira situação, a bola possui maior velocidade.

Um caminhão que se desloca com velocidade escalar de $100 km/h$ possui momento linear com módulo maior do que um carro com a mesma velocidade escalar, pois a massa do caminhão é maior do que a do carro.

A unidade do momento linear, no SI, é a unidade de massa (quilograma) vezes a unidade de velocidade (metro por segundo). Logo: unidade $\left[p\right]=kg.m/s=N.s$.

Note que o impulso e o momento linear possuem a mesma unidade.

O momento linear de uma partícula é constante (em módulo e orientação) em dois casos:

a) Quando a partícula está em repouso (velocidade nula): $p=m.0=0$.

b) Quando a partícula está em movimento retilíneo e uniforme (MRU), à velocidade constante diferente de zero: $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}=\mathrm{constante}\ne 0$.

Podemos relacionar o conceito de momento linear com a segunda lei de Newton em sua forma matemática:

${\overrightarrow{F}}_R=m\overrightarrow{a} \to {\overrightarrow{F}}_R=m\frac{∆v}{∆t} \to {\overrightarrow{F}}_R=\frac{∆\overrightarrow{p}}{∆t}$

Veja que a segunda lei de Newton afirma que a força resultante que atua sobre uma partícula é igual à variação do momento linear ($∆\overrightarrow{p}$) com o tempo.

Exemplo: uma partícula de massa de $\mathrm{5,0} kg$ parte do repouso e descreve uma trajetória retilínea com aceleração escalar constante. Após um intervalo de tempo de $15 s$, a partícula se encontra a $50 m$ da sua posição inicial. Nesse instante, qual o módulo do momento linear da partícula?

Resolução: o módulo do momento linear é dado por $p=mv$. Temos a massa da partícula, então precisamos descobrir a velocidade após $15 s$ de movimento. Lembre-se de que a partícula está inicialmente em repouso ($v_0=0$).

A partícula desenvolve um MUV, logo a equação horária dos espaços é:

$∆s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2 \to ∆s=\frac{1}{2}a{t}^2 \to a=\frac{2∆s}{t^2} \to a=\frac{2 . 50}{{15}^2} \to a=\mathrm{0,44} m/s^2$

A equação horária da velocidade é dada por:

$v=v_0+at \to v=at \to v=\mathrm{0,44} . 15 \to v=\mathrm{6,60} m/s$

Agora podemos calcular o impulso:

$p=mv \to p=\mathrm{5,0} . \mathrm{6,60} \to p=\mathrm{33,0} N.s$

Siga em Frente...

Observe que poderíamos resolver da seguinte forma:

$\frac{∆p}{∆t}=ma \to ∆p=ma∆t \to ∆p=\mathrm{5,0} . \mathrm{0,44} . 15 \to ∆p=\mathrm{33,0} N.s$

O conceito de momento linear é extremamente importante, pois nos ajuda a explicar a interação entre objetos sem precisar saber exatamente a força que está atuando em cada instante de tempo sobre eles. Aplicando o conceito de momento linear, podemos explicar as interações apenas sabendo a massa e a velocidade.

Se aplicarmos o conceito de derivada na segunda lei de Newton ($\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$), ou seja, se lembrarmos de que a aceleração instantânea pode ser obtida calculando a derivada da velocidade com relação ao tempo e considerando a massa constante, podemos obter o momento linear por meio da relação:

${\overrightarrow{F}}_R=m\overrightarrow{a} \to {\overrightarrow{F}}_R=m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt} \to {\overrightarrow{F}}_R=\frac{d}{dt}\left(m\overrightarrow{v}\right) \to {\overrightarrow{F}}_R=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$

Podemos, também, relacionar o momento linear com a energia cinética.

Considere uma partícula de massa $m$, energia cinética $K$ e momento linear de módulo $p$. Sendo $v$ o módulo da velocidade da partícula, temos:

$p=mv \to v=\frac{p}{m}$

Substituindo na equação da energia cinética:

$K-\frac{1}{2}m{v}^2 \to K=\frac{1}{2}m{\left(\frac{p}{m}\right)}^2 \to K=\frac{p^2}{2m}$

Como já mencionado anteriormente, sabemos que:

${\overrightarrow{F}}_R=\frac{∆\overrightarrow{p}}{∆t}$

Multiplicando os dois lados da equação por $∆t$, temos:

${\overrightarrow{F}}_R=\frac{∆\overrightarrow{p}}{∆t} ∆t \to {\overrightarrow{F}}_R∆t=∆\overrightarrow{p}$

Mas ${\overrightarrow{J}}_{total}={\overrightarrow{F}}_R∆t$, temos, então, pela equação anterior:

${\overrightarrow{J}}_{total}=∆\overrightarrow{p}$

Portanto, o impulso total sobre uma partícula, para um dado intervalo de tempo, é igual à variação do momento linear naquele intervalo de tempo. Esse é o teorema do impulso-momento linear.

Perceba que podemos também escrever a equação anterior como:

${\overrightarrow{J}}_{total}=m∆\overrightarrow{v}$

Aqui fica claro que o impulso fornece todas as informações necessárias para conhecermos a mudança na velocidade de um objeto.

Exemplo: uma super flecha se move em linha reta com velocidade de módulo igual a $\mathrm{9,0}\times {10}^2 km/h$, quando colide com uma caixa de massa de $\mathrm{2,5} kg$ que estava em repouso. Após a colisão, a caixa fica presa na flecha. Se a colisão durou $\mathrm{1,5}\times {10}^{-3} s$, qual é o módulo aproximado da força média que o projetil trocou com a caixa? (Suponha que essa força seja constante.)

Resolução: para relacionarmos força com tempo, usamos o teorema do impulso-momento linear aplicado em relação à caixa:

${\overrightarrow{J}}_{caixa}=∆{\overrightarrow{p}}_{caixa} \to \overrightarrow{F}∆t=m{\overrightarrow{v}}_f-m{\overrightarrow{v}}_i \to \overrightarrow{F}=\frac{m}{∆t}\left({\overrightarrow{v}}_f-{\overrightarrow{v}}_i\right)$

Como a caixa estava inicialmente em repouso, temos $v_i=0$, e como ela ficou presa na flecha após a colisão, o módulo da velocidade final da caixa é igual à velocidade da flecha, ou seja, $v_f=\mathrm{9,0}\times {10}^2 km/h=\mathrm{2,5}\times {10}^2 m/s$.

Portanto, retornando à primeira equação, temos que o módulo da força média trocada na colisão entre a flecha e a caixa é:

$\overrightarrow{F}=\frac{m}{∆t}\left({\overrightarrow{v}}_f-0\right) \to \overrightarrow{F}=\frac{\mathrm{2,5}}{\mathrm{1,5}\times {10}^{-3}} . \mathrm{2,5}\times {10}^2 \to \overrightarrow{F}=\mathrm{4,2}\times {10}^5 N$

Vamos Exercitar?

Retomaremos o exercício proposto no início dessa seção.

Para analisar o módulo do impulso total que a sonda deve sofrer de modo a interceptar o cometa, podemos usar o teorema do impulso-momento linear:

$J_{total,sonda}=∆p_{sonda} \to J_{total,sonda}=m_{sonda}∆v_{sonda}$

Sabemos que:

$∆v_{sonda}=\mathrm{3,5} km/s=3500 m/s$

Logo, concluímos que o módulo do impulso total que a sonda deve sofrer é:

$J_{total,sonda}=1200 . 3500 \to J_{total,sonda}=\mathrm{4,2}\times {10}^6 N.s$

O módulo do momento linear do cometa G0111, ou seja, a quantidade de movimento desse corpo é dada por:

$p_{cometa}=m_{cometa}{v}_{cometa}$

Precisamos transformar a velocidade do cometa para o SI:

$v_{cometa}=\frac{\mathrm{129,6}\times {10}^3}{\mathrm{3,6}} \to v_{cometa}=\mathrm{36,0}\times {10}^3 m/s$

Assim, temos que o momento linear do cometa é:

$p_{cometa}=\mathrm{9,0}\times {10}^{13} . \mathrm{36,0}\times {10}^3 \to p_{cometa}=\mathrm{7,2}\times {10}^{16} N.s$

Prezado estudante, desafie-se a aplicar os conceitos aprendidos aqui e nas unidades anteriores. Será que você consegue calcular a energia cinética do cometa e a variação de energia cinética da sonda? Não se esqueça de que o momento linear e a energia cinética podem se relacionar!

Saiba Mais

Aprofunde seus conhecimentos!

Sugestão de leitura: Parte 1 - Capítulo 6 do livro:

HEWITT, P. G. Física conceitual. 13. ed. Porto Alegre: Bookman, 2023.

Conheça o site da Khan Academy, com cursos, aulas e prática on-line gratuitos. Nele, você encontra vários vídeos e artigos sobre os temas explorados nessa aula. Acesse o material disponível na Introdução ao momento.

Referências Bibliográficas

BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários. Porto Alegre: AMGH, 2012.

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física, volume 1: mecânica. 12. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2023.

HEWITT, P. G. Física conceitual. 13. ed. Porto Alegre: Bookman, 2023.

SERWAY, R. A.; JEWETT JR., J. W. Física para cientistas e engenheiros: volume 1: mecânica. São Paulo: Cengage Learning, 2017.

Conservação do momento linear

Olá, estudante! Nesta videoaula, você conhecerá uma nova lei de conservação: a lei da conservação do momento linear. As leis de conservação são princípios fundamentais na física que descrevem a constância de certas quantidades físicas em sistemas isolados. Elas são essenciais para compreender e prever o comportamento de sistemas físicos.

Esse conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois o conceito de momento linear é especialmente importante quando ocorre interação entre dois ou mais corpos, como em caso de colisões. A conservação do momento linear é uma ferramenta poderosa na resolução de problemas dinâmicos, permitindo a previsão e a análise de movimentos de objetos em interação. Essa lei é uma consequência direta da aplicação das leis de Newton à mecânica clássica.

Prepare-se para essa jornada de conhecimento! Vamos lá?

Ponto de Partida

Olá, estudante! Seja bem-vindo.

Na seção anterior, você aprendeu sobre momento linear e percebeu que esse conceito é especialmente importante quando ocorre interação entre dois ou mais corpos, como em caso de colisões.

Agora, conheceremos uma nova lei de conservação: a lei da conservação do momento linear. No domínio da mecânica newtoniana, que é a mecânica que estamos estudando, a lei da conservação do momento linear nos permite analisar muitas situações que se tornariam extremamente difíceis se tentássemos usar as leis de Newton diretamente. Por isso, conhecer e saber aplicar a lei da conservação do momento linear é tão importante quanto a lei de conservação da energia.

Para dar início ao nosso trabalho, consideraremos que você foi contratado por uma agência espacial e se tornou responsável pelo monitoramento do cometa GO111, que viaja pelo espaço. Esse cometa possui massa de $\mathrm{2,0}\times {10}^{13} kg$ e viaja a $\mathrm{129,6}\times {10}^3 km/h$. Enquanto você observa o cometa, que viaja na horizontal, em certo instante ele explode em dois fragmentos (A e B), com massas iguais a $m_A=\mathrm{1,5}\times {10}^{13} kg$ e $m_B=\mathrm{0,5}\times {10}^{13} kg$. O fragmento A segue com velocidade de $\mathrm{180,0}\times {10}^3 km/h$ e perpendicular à direção horizontal inicial. O fragmento B segue com direção oblíqua à horizontal e velocidade desconhecida. Analisando a situação, é possível que o fragmento B atinja o planeta Júpiter. Assim, você precisa calcular e informar, com urgência, a velocidade e o momento linear do fragmento B.

Como será possível realizar essa análise?

Vamos começar? Bons estudos!

Vamos Começar!

Para começar, lembraremos que sistemas isolados são aqueles que não trocam energia com o ambiente, ou seja, a energia total de um sistema isolado é sempre constante. Em outras palavras, podemos também afirmar que um sistema é dito isolado quando a resultante de todas as forças externas é nula. Nesta seção, os sistemas isolados de maior importância para nossos estudos estão ligados a fenômenos de colisão e explosão.

Lei da conservação do momento linear

Consideremos um sistema isolado, isto é, a soma vetorial das forças externas que atuam no sistema é nula e, portanto, o impulso total devido às forças externas também é nulo. As forças internas ao sistema são trocadas entre as partes que compõem o sistema e devem obedecer à lei de ação e reação (terceira lei de Newton).

Assim, a existência de uma força interna ${\overrightarrow{F}}_1$ implica a existência de outra força interna de mesmo módulo e direção, porém de sentido oposto ($-{\overrightarrow{F}}_1$), e o impulso total, dado pela soma dos impulsos devido a essas duas forças, é nulo, ou seja, nos sistemas isolados, o impulso total devido às forças internas também é nulo.

Matematicamente, usando o teorema do impulso-momento linear, temos que:

${\overrightarrow{J}}_{total}=∆\overrightarrow{p}$

${\overrightarrow{J}}_{total}={\overrightarrow{p}}_f-{\overrightarrow{p}}_i$

Mas, nos sistemas isolados:

${\overrightarrow{J}}_{total}=0 \to ∆\overrightarrow{p}=0$

Logo, concluímos que:

${\overrightarrow{p}}_f={\overrightarrow{p}}_i=constante$

Em palavras, dizemos que o momento linear dos sistemas isolados é constante. Essa é uma das leis mais importantes da Física.

Ao aplicar a lei de conservação do momento linear, é essencial lembrar-se de que o momento linear é uma grandeza vetorial e, portanto, você deve usar as regras de soma vetorial para calcular o momento linear total do sistema. Isso significa também que você pode analisar as projeções do momento linear, independentemente, em cada direção espacial (princípio da independência do movimento).

Forças internas e forças externas

É importante compreender que, se existirem forças internas ao sistema, o momento linear do movimento de cada parte do sistema varia, porém o momento linear total do sistema (soma vetorial) permanece constante.

Observação: Denomina-se força interna a força que uma partícula do sistema exerce sobre outra partícula do mesmo sistema. Denomina-se força externa a força exercida por um corpo no exterior do sistema sobre uma ou mais partículas do interior do sistema.

Exemplo: seja um sistema constituído de três partículas A, B e C. As partículas A e B interagem entre si com forças ${\overrightarrow{F}}_{AB}$ e ${\overrightarrow{F}}_{BA}$. A partícula C está livre de forças.

As forças ${\overrightarrow{F}}_{AB}$ e ${\overrightarrow{F}}_{BA}$ são trocadas entre as partes do sistema e, portanto, são forças internas.

O momento linear total do sistema é dado pela soma vetorial dos momentos lineares das três partículas que compõem o sistema:

${\overrightarrow{p}}_{total}={\overrightarrow{p}}_A+{\overrightarrow{p}}_B+{\overrightarrow{p}}_C$

Note que, como a partícula A está sob ação da força interna ${\overrightarrow{F}}_{BA}$, seu momento linear varia. O mesmo ocorre com a partícula B, que está sob ação da força ${\overrightarrow{F}}_{AB}$.

Como a partícula C está livre de forças, seu momento linear é constante.

Note que ${\overrightarrow{F}}_{BA}=-{\overrightarrow{F}}_{AB}$ (ação e reação).

Portanto, temos que: ${\overrightarrow{J}}_A=-{\overrightarrow{J}}_B.$

E pelo teorema do impulso-momento linear, temos: $∆{\overrightarrow{p}}_A=-∆{\overrightarrow{p}}_B$.

Assim, a variação do momento linear total é:

$∆{\overrightarrow{p}}_{total}=∆{\overrightarrow{p}}_A+∆{\overrightarrow{p}}_B+∆{\overrightarrow{p}}_C \to ∆{\overrightarrow{p}}_{total}=-∆{\overrightarrow{p}}_B+∆{\overrightarrow{p}}_B+0 \to ∆{\overrightarrow{p}}_{total}=0$

Ou seja, nos sistemas isolados, o momento linear total é constante:

$∆{\overrightarrow{p}}_{total}=0 \to {\overrightarrow{p}}_{total}=constante$ 

Colisões

Quando duas partículas, A e B, colidem, ambas constituem um sistema isolado, pois as forças ligadas à colisão são forças internas de ação e reação entre A e B. Eventuais forças externas (força da gravidade, força de atrito, força de resistência do ar) têm intensidades desprezíveis em comparação com as forças internas ligadas à colisão.

Assim, dizemos que o momento linear total antes da colisão deve ser igual ao momento linear total após a colisão:

${\overrightarrow{p}}_{após}={\overrightarrow{p}}_{antes}$

$m_A{\overrightarrow{v}}_{A,após}+m_B{\overrightarrow{v}}_{B,após}=m_A{\overrightarrow{v}}_{A,antes}+m_B{\overrightarrow{v}}_{B,antes}$

Na próxima seção, estudaremos mais detalhadamente as colisões.

Exemplo: um carrinho cheio de terra de massa de $\mathrm{2,0} kg$, em repouso, pode se deslocar sobre uma superfície plana e horizontal, sem atrito e sem resistências. Um projetil de $200 g$ é disparado na horizontal, contra o carrinho. O projétil colide com o carrinho e se aloja na terra. Logo após a colisão, o conjunto carrinho + projétil passa a se mover com velocidade constante, percorrendo $\mathrm{0,80} m$ em $\mathrm{0,4} s$. Qual era, aproximadamente, o módulo da velocidade do projétil imediatamente antes da colisão?

Resolução: após a colisão, o módulo da velocidade do conjunto é de:

$v_{após}=\frac{∆s}{∆t} \to v=\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}} \to v=\mathrm{2,0} m/s$

No ato da colisão, o sistema pode ser considerado isolado e, portanto, há conservação do momento linear. Assim, analisando o módulo do momento linear antes e após a colisão, temos:

$p_{após}=p_{antes} \to \left(m_p+m_C\right)v_{após}=m_p{v}_{p,antes}-m_C{v}_{C,antes}$

$v_{p,antes}=\frac{\left(m_p+m_C\right)v_{após}+m_C{v}_{C,antes}}{m_p} \to v_{p,antes}=\frac{\left(\mathrm{0,2}+\mathrm{2,0}\right) . \mathrm{2,0}+\mathrm{2,0} . 0}{\mathrm{0,2}}$

$v_{p,antes}=22 m/s$

Siga em Frente...

Explosão

Explosão também é outro exemplo de sistema isolado, pois as forças internas ligadas ao processo são muito intensas e, no ato da explosão, as forças externas são desprezíveis.

Considere, por exemplo, que uma granada de massa $M$ e velocidade inicial ${\overrightarrow{v}}_0$ explode, sendo transformada em $n$ fragmentos de massas $m_1$, $m_2$, ..., $m_n$, cujas velocidades imediatamente após a explosão são ${\overrightarrow{v}}_1$, ${\overrightarrow{v}}_2$, ..., ${\overrightarrow{v}}_n$.

Analisando a situação imediatamente antes e após a explosão, temos:

${\overrightarrow{p}}_{após}={\overrightarrow{p}}_{antes} \to m_1{\overrightarrow{v}}_{1,após}+m_2{\overrightarrow{v}}_{2,após}+\dots +m_n{\overrightarrow{v}}_{n,após}=M{\overrightarrow{v}}_0$

Vale ressaltar que a granada só é um sistema isolado no momento da explosão, pois, com o tempo, os efeitos da gravidade, da resistência do ar e a força de atrito se tornam relevantes para o estudo do movimento.

Lembre-se de que os sistemas isolados podem ser conservativos (energia mecânica constante) ou não conservativos (ocorre variação, aumento ou perda de energia mecânica).

Exemplo: um caçador distraído, ao atirar, segura o rifle muito frouxamente, de modo que este possa recuar livremente com o disparo. Considere que a massa do rifle é $\mathrm{5,0} kg$ e a massa do projétil é de $\mathrm{15,0} g$, o qual é disparado horizontalmente a uma velocidade de módulo igual a $\mathrm{3,0}\times {10}^4 cm/s$. Nessas condições, responda:

a) Qual é a velocidade de recuo do rifle?

b) Qual é o valor da energia cinética final do projétil e do rifle?

c) Qual é o momento linear total final do projétil e do rifle?

Resolução:

a) Observe que, inicialmente, antes do disparo, rifle e projétil estão em repouso e, portanto, o momento linear inicial total é nulo.

Pela lei de conservação do momento linear, temos que:

${\overrightarrow{p}}_{após}={\overrightarrow{p}}_{antes}$

$m_r{\overrightarrow{v}}_r+m_p{\overrightarrow{v}}_p=0 \to {\overrightarrow{v}}_r=\frac{-m_p{\overrightarrow{v}}_p}{m_r} \to {\overrightarrow{v}}_r=\frac{\left(-15\times {10}^{-3} . \mathrm{3,0}\times {10}^2 \hat{i}\right)}{\mathrm{5,0}}$

${\overrightarrow{v}}_r=-\mathrm{0,90} \hat{i} kg.m/s$

b) A energia cinética final do projétil é:

$K_p=\frac{m_p{v}_p^2}{2} \to K_p=\frac{\mathrm{15,0}\times {10}^{-3} . \mathrm{3,0}\times {10}^2}{2} \to K_p=675 J$

A energia cinética do rifle é:

$K_r=\frac{m_r{v}_r^2}{2} \to K_r=\frac{\mathrm{5,0} . \mathrm{0,9}}{2} \to K_p=\mathrm{2,025} J$

c) O momento linear final do projétil é:

${\overrightarrow{p}}_p=m_p{v}_p \to {\overrightarrow{p}}_p=15\times {10}^{-3} . \mathrm{3,0}\times {10}^2 \hat{i} \to {\overrightarrow{p}}_p=\mathrm{4,5} \hat{i} kg.m/s$

O momento linear final do rifle é:

${\overrightarrow{p}}_r=m_r{v}_r \to {\overrightarrow{p}}_r=\mathrm{5,0} . \left(-\mathrm{0,9}\right) \hat{i} \to {\overrightarrow{p}}_p=-\mathrm{4,5} \hat{i} kg.m/s$

Vamos Exercitar?

Retomaremos a situação proposta no início dessa seção.

Explosões e colisões são consideradas sistemas isolados e, portanto, nessas situações, o momento linear é constante, de acordo com a lei de conservação do momento linear. Na explosão, as forças internas ligadas ao processo são muito intensas e, no intervalor de tempo em que ocorre a explosão, o efeito das forças externas é desprezível.

No ato da explosão, o cometa é um sistema isolado e há conservação de momento linear total:

${\overrightarrow{p}}_{após}={\overrightarrow{p}}_{antes} \to {\overrightarrow{p}}_A+{\overrightarrow{p}}_B={\overrightarrow{p}}_{cometa}$

Pela equação dada anteriormente, perceba que o momento linear do cometa é exatamente o vetor resultante da soma vetorial entre os momentos lineares dos fragmentos A e B.

Analisando o exato momento da explosão, temos que o cometa, inicialmente viajando pela horizontal, explode nos fragmentos A e B. O fragmento A segue perpendicular ao movimento do cometa. O fragmento B segue com orientação oblíqua. Desenhando essas informações, temos a Figura 2:

Aplicando o teorema de Pitágoras em qualquer um dos triângulos retângulos da Figura 2, temos:

${\left|{\overrightarrow{p}}_B\right|}^2={\left|{\overrightarrow{p}}_A\right|}^2+{\left|{\overrightarrow{p}}_{cometa}\right|}^2 \to {\left(m_B{v}_B\right)}^2={\left(m_A{v}_A\right)}^2+{\left(m_{cometa}{v}_{cometa}\right)}^2$

$v_B^2=\frac{{\left(m_A{v}_A\right)}^2+{\left(m_{cometa}{v}_{cometa}\right)}^2}{m_B^2}$

Temos que:

$v_A=\mathrm{180,0}\times {10}^3 km/h \to v_A=\mathrm{50,0}\times {10}^3 m/s$

$v_{cometa}=\mathrm{129,6}\times {10}^3 km/h \to v_{cometa}=\mathrm{36,0}\times {10}^3 m/s$

Logo:

$v_B=\sqrt{\frac{{\left(\mathrm{1,5}\times {10}^{13} . \mathrm{50,0}\times {10}^3\right)}^2+{\left(\mathrm{2,0}\times {10}^{13} . \mathrm{36,0}\times {10}^3\right)}^2}{{\left(\mathrm{0,5}\times {10}^{13}\right)}^2}}$

$v_B\approx \mathrm{207,9}\times {10}^3 m/s \to v_B\approx \mathrm{748,6}\times {10}^3 km/h$

Prezado estudante, você é capaz também de informar o ângulo em que o fragmento B foi ejetado da explosão, em relação à trajetória horizontal inicial do cometa, não é mesmo? Que tal testar seus conhecimentos e realizar esse cálculo?

Saiba Mais

Aprofunde seus conhecimentos!

Sugestão de leitura: Parte 1 – Capítulo 6 do livro:

HEWITT, P. G. Física conceitual. 13. ed. Porto Alegre: Bookman, 2023.

Conheça o site da Khan Academy, com cursos, aulas e prática on-line gratuitos. Nele, você encontra vários vídeos e artigos sobre os temas explorados nessa aula. Acesse o material disponível na Introdução ao momento.

Referências Bibliográficas

BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários. Porto Alegre: AMGH, 2012.

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física, volume 1: mecânica. 12. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2023.

HEWITT, P. G. Física conceitual. 13. ed. Porto Alegre: Bookman, 2023.

SERWAY, R. A.; JEWETT JR., J. W. Física para cientistas e engenheiros: volume 1: mecânica. São Paulo: Cengage Learning, 2017.

Colisões

Olá, estudante! Nesta videoaula, você conhecerá mais detalhadamente o que ocorre durante as colisões. Em nossos estudos, usaremos o conceito de colisão, fazendo referência à qualquer vigorosa e rápida interação entre dois corpos. Sabemos que existe conservação do momento linear total do sistema antes e após a colisão. Veremos, agora, a correlação entre as colisões e a conservação de energia total do sistema.

Esse conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois, ao final desta seção, você estará apto a entender e identificar os tipos de colisões e a realizar os cálculos necessários, utilizando os conceitos de momento linear e energia.

Prepare-se para essa jornada de conhecimento! Vamos lá!

Ponto de Partida

Olá, estudante. Seja bem-vindo!

Nesta seção, utilizaremos o modelo do sistema isolado (momento) para descrever o que acontece quando duas partículas colidem. O termo colisão representa um evento durante o qual duas partículas se aproximam uma da outra e interagem por meio de forças. As forças de interação são consideradas muito maiores que quaisquer outras externas presentes; portanto, podemos utilizar a aproximação do impulso.

Veremos que podemos classificar e estudar as colisões de acordo com a conservação da energia total do sistema. Imagine, por exemplo, dois corpos que se chocam e continuam o movimento unidos. Nessa situação, dizemos que temos uma colisão perfeitamente inelástica e, embora o momento linear se conserve, existe uma significativa perda de energia cinética do sistema. Se, por outro lado, o choque ocorre sem deformações permanentes, este pode ser classificado como colisão perfeitamente elástica. Nesse caso, existe a conservação do momento linear e da energia cinética total do sistema.

Para aplicar na prática os conceitos abordados, iremos retomar o monitoramento que você faz do cometa GO111, na agência espacial. Na seção anterior, vimos que o cometa se fragmentou. Após as análises, você concluiu que o fragmento B irá de fato colidir inelasticamente com o planeta Júpiter. Agora, você deverá analisar essa situação e informar se após a colisão haverá alteração da órbita do planeta Júpiter, pois, caso isso aconteça, podemos ter alterações significativas no nosso sistema solar.

Vamos começar? Bons estudos!

Vamos Começar!

Colisões

O conceito de colisão faz referência a qualquer vigorosa e rápida interação entre dois corpos. Lembre-se de que as colisões podem ser consideradas sistemas isolados, uma vez que as forças internas ao sistema são muito maiores do que as externas.

Considere dois corpos A e B imediatamente antes e após sofrerem uma colisão. Eles constituem um sistema isolado, assim podemos escrever a lei da conservação do momento linear:

${\overrightarrow{p}}_{total,antes}={\overrightarrow{p}}_{total,após}$

Ou ainda:

${\overrightarrow{p}}_{A,antes}+{\overrightarrow{p}}_{B,antes}={\overrightarrow{p}}_{A,após}+{\overrightarrow{p}}_{A,após}$

É importante lembrar que o momento linear é uma grandeza vetorial dada por:

$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$

Assim, podemos escrever:

$m_A{\overrightarrow{v}}_{A,antes}+m_B{\overrightarrow{v}}_{B,antes}=m_A{\overrightarrow{v}}_{A,após}+{m_B\overrightarrow{v}}_{B,após}$

Devemos tomar muito cuidado com a orientação da velocidade dos objetos antes e após a colisão. Se necessário, lembre-se de que podemos usar o princípio da independência dos movimentos e analisar separadamente a conservação do momento linear nas direções $x$ e $y$.

Em $x$:

${\overrightarrow{p}}_{x,antes}={\overrightarrow{p}}_{x,após}$

$m_A{\overrightarrow{v}}_{A_x,antes}+m_B{\overrightarrow{v}}_{B_x,antes}=m_A{\overrightarrow{v}}_{A_x,após}+{m_B\overrightarrow{v}}_{B_x,após}$

Em $y$:

${\overrightarrow{p}}_{y,antes}={\overrightarrow{p}}_{y,após}$

$m_A{\overrightarrow{v}}_{A_y,antes}+m_B{\overrightarrow{v}}_{B_y,antes}=m_A{\overrightarrow{v}}_{A_y,após}+{m_B\overrightarrow{v}}_{B_y,após}$

Observação: Para colisões unidimensionais, quando os corpos estão na mesma linha reta, antes e após a colisão, não há necessidade de utilizar o princípio da independência dos movimentos. Do contrário, você deve utilizar esse princípio para saber exatamente o que acontece com os corpos antes e após a colisão.

Denominamos de colisão inelástica o sistema que é não conservativo em termos de energia, pois o momento linear é constante, mas há variação da energia mecânica total após o choque, ou seja, parte da energia cinética é transformada em outras formas de energias durante a colisão, momento no qual ocorrem deformações, que geram atrito interno e, portanto, som e calor.

Se, após a colisão, os dois corpos ficarem colados, dizemos que é uma colisão perfeitamente inelástica. Após essa colisão, os corpos possuem a mesma velocidade.

Assim, nas colisões perfeitamente inelásticas:

${\overrightarrow{v}}_{A,após}={\overrightarrow{v}}_{B,após}={\overrightarrow{v}}_{após}$

$m_A{\overrightarrow{v}}_{A,antes}+m_B{\overrightarrow{v}}_{B,antes}=(m_A+{m_B) \overrightarrow{v}}_{após}$

Pela equação anterior, perceba que, conhecendo as massas e as velocidades iniciais, podemos calcular a velocidade logo após a colisão.

A colisão inelástica de corpos sempre envolve uma perda de energia cinética por parte do sistema, que é transformada em outros tipos de energia. A maior perda ocorre quando os dois corpos permanecem juntos e, portanto, com a mesma velocidade, caso em que a colisão é chamada de colisão perfeitamente inelástica.

Exemplo: um carro A de massa de $1000 kg$ se desloca do sul para o norte em linha reta com velocidade de $\mathrm{54,0} km/h$. Ao passar em um cruzamento, colide com um carro B, que possui o dobro de sua massa e que se deslocava de oeste para leste a $\mathrm{36,0} km/h$. Felizmente, todos estavam usando cinto de segurança e ninguém se feriu. Logo após a colisão, os dois carros ficaram engavetados e se deslocaram como um único. Qual foi a velocidade dos carros logo após a colisão?

Resolução: temos, então, no SI: ${\overrightarrow{v}}_{A,antes}=\mathrm{15,0} \hat{j}$ e ${\overrightarrow{v}}_{B,antes}=\mathrm{10,0} \hat{i}$

Veja que, antes da colisão, cada carro se move com direção e sentido diferentes. Assim, utilizaremos o princípio de independência dos movimentos:

Movimento pelo eixo $x$ antes da colisão:

${\overrightarrow{p}}_{x,antes}=m_A{\overrightarrow{v}}_{A_x,antes}+m_B{\overrightarrow{v}}_{B_x,antes}$

${\overrightarrow{p}}_{x,antes}=1000 . 0+2000 . \mathrm{10,0}\hat{i} \to {\overrightarrow{p}}_{x,antes}=\mathrm{2,0}\times {10}^4 \hat{i} kg.m/s$

Movimento pelo eixo $y$ antes da colisão:

${\overrightarrow{p}}_{y,antes}=m_A{\overrightarrow{v}}_{A_y,antes}+m_B{\overrightarrow{v}}_{B_y,antes}$

${\overrightarrow{p}}_{y,antes}=1000 . 15\hat{j}+2000 . 0 \to {\overrightarrow{p}}_{x,antes}=\mathrm{1,5}\times {10}^4 \hat{j} kg.m/s$

Pela conservação do momento linear, temos:

${\overrightarrow{p}}_{x,antes}={\overrightarrow{p}}_{x,após}=\mathrm{2,0}\times {10}^4 \hat{i} kg.m/s$

${\overrightarrow{p}}_{y,antes}={\overrightarrow{p}}_{y,após}=\mathrm{1,5}\times {10}^4 \hat{j} kg.m/s$

Visto que a colisão é inelástica, pois os carros ficam engavetados após a colisão e se deslocam em conjunto, com certa velocidade, podemos obter:

${\overrightarrow{p}}_{x,após}=\left(m_A+m_B\right){\overrightarrow{v}}_{x,após}$

${\overrightarrow{v}}_{x,após}=\frac{{\overrightarrow{p}}_{x,após}}{m_A+m_B} \to {\overrightarrow{v}}_{x,após}=\frac{\mathrm{2,0}\times {10}^4 \hat{i}}{1000+2000} \to {\overrightarrow{v}}_{x,após}=\mathrm{6,67} \hat{i} m/s$

Analogamente:

${\overrightarrow{p}}_{y,após}=\left(m_A+m_B\right){\overrightarrow{v}}_{y,após}$

${\overrightarrow{v}}_{y,após}=\frac{{\overrightarrow{p}}_{y,após}}{m_A+m_B} \to {\overrightarrow{v}}_{y,após}=\frac{\mathrm{1,5}\times {10}^4 \hat{j}}{1000+2000} \to {\overrightarrow{v}}_{x,após}=\mathrm{5,0} \hat{j} m/s$

Sabendo que (Figura 3):

${\overrightarrow{v}}_{após}={\overrightarrow{v}}_{x,após}+{\overrightarrow{v}}_{y,após}$

Temos que o módulo da velocidade dos carros logo após a colisão é:

${|\overrightarrow{v}}_{após}|=\sqrt{{\left({\overrightarrow{v}}_{x,após}\right)}^2 +{\left({\overrightarrow{v}}_{y,após}\right)}^2} \to {|\overrightarrow{v}}_{após}|=\sqrt{{\left(\mathrm{6,67}\right)}^2 +{\left(\mathrm{5,0}\right)}^2}$

${|\overrightarrow{v}}_{após}|=\mathrm{8,34} m/s$

A orientação $\alpha$ do vetor velocidade é:

$tg\alpha =\frac{v_{y,após}}{v_{x,após}} \to tg\alpha =\frac{\mathrm{5,0}}{\mathrm{6,67}} \to tg\alpha =\mathrm{0,75} \to \alpha =arctg\left(\mathrm{0,75}\right) \to \alpha =37°$

Concluímos que, logo após a colisão, os carros A e B se movem juntos, com a mesma velocidade de módulo igual a $\mathrm{8,34} m/s$ em direção oblíqua, formando $37°$ com relação ao semieixo positivo da horizontal.

Quando a energia mecânica do sistema é conservada antes e após a colisão, dizemos que a colisão é elástica. Nesse tipo de colisão, temos, portanto, um sistema conservativo no qual se aplica a lei da conservação da energia e a lei da conservação do momento linear.

Apesar de, intuitivamente, sabermos que uma pequena quantidade de energia mecânica sempre será perdida nas colisões, podemos, em algumas situações, considerar essa perda como desprezível, quando normalmente os corpos que colidem não sofrem deformações permanentes. Dessa forma, é possível analisar algumas colisões da vida real como elásticas. Um bom exemplo é o jogo de bilhar, no qual as deformações sofridas pelas bolas ao colidirem são imperceptíveis e não permanentes, portanto podemos analisar o jogo considerando as colisões elásticas.

Analisaremos a colisão elástica entre dois corpos A e B, conforme Figura 4:

Nas colisões elásticas, a energia cinética dos corpos A e B pode variar, mas a energia cinética total do sistema é constante.

$K_{total,antes}=K_{total,após}$

$K_{A,antes}+K_{B,ante}=K_{A,após}+K_{B,após}$

Observe que, se substituirmos as expressões das energias cinéticas dadas anteriormente e cancelarmos o termo comum $1/2$ de todas as frações, temos:

$m_A{\left(v_{A,antes}\right)}^2+m_B{\left(v_{B,antes}\right)}^2=m_A{\left(v_{A,após}\right)}^2+m_B{\left(v_{B,após}\right)}^2$

Aplicando a lei de conservação do momento linear:

$m_A{\overrightarrow{v}}_{A,antes}+m_B{\overrightarrow{v}}_{B,antes}=m_A{\overrightarrow{v}}_{A,após}+m_B{\overrightarrow{v}}_{B,após}$

Você pode trabalhar bastante com as equações mostradas. Quando forem conhecidas as massas e as velocidades dos corpos A e B, o sistema constituído pelas equações da conservação de energia cinética e pelas equações de conservação do momento linear que acabamos de mostrar poderá ser resolvido para descobrir as velocidades de A e B após a colisão.

Lembre-se de que, se necessário, você pode usar o princípio da independência dos movimentos e analisar a equação da conservação do momento linear separadamente em relação aos eixos $x$ e $y$.

Exemplo: dois discos, A e B, chocam-se elasticamente sobre uma mesa sem atrito. O disco A possui massa de $m_A=500 g,$ e o disco B, de $m_B=300 g$. Antes da colisão, o disco B está em repouso e o disco A se move com velocidade ${\overrightarrow{v}}_{A,antes}=\mathrm{4,0} \hat{i} m/s$. Após o choque, o disco A se move com velocidade de módulo igual a ${|\overrightarrow{v}}_{A,após}|=\mathrm{2,0} m/s$ e com orientação $\alpha =37°$. Calcule a velocidade final do disco B e o ângulo $\beta$, conforme mostrado na Figura 5.

Resolução: como a colisão é elástica, a energia cinética total antes e após a colisão é constante:

$K_{total,antes}=K_{total,após}$

$\frac{1}{2}{m}_A{\left(v_{A,antes}\right)}^2+\frac{1}{2}{m}_B{\left(0\right)}^2=\frac{1}{2}{m}_A{\left(v_{A,após}\right)}^2+\frac{1}{2}{m}_B{\left(v_{B,após}\right)}^2$

$v_{B,após}=\frac{\sqrt{m_A{\left(v_{A,antes}\right)}^2-m_A{\left(v_{A,após}\right)}^2}}{m_B} \to v_{B,após}=\sqrt{\frac{\mathrm{0,5}{ . \left(\mathrm{4,0}\right)}^2-\mathrm{0,5}{\left(\mathrm{2,0}\right)}^2}{\mathrm{0,3}}}$

$v_{B,após}=\mathrm{4,47} m/s$

Aplicando o princípio da independência dos movimentos:

Em $x$:

${\overrightarrow{p}}_{x,antes}=m_A{\overrightarrow{v}}_{A,antes} \to {\overrightarrow{p}}_{x,antes}=\mathrm{0,5} . \mathrm{4,0}\widehat{ i} \to {\overrightarrow{p}}_{x,antes}=\mathrm{2,0} \hat{i} kg.m/s$

${\overrightarrow{p}}_{x,antes}={\overrightarrow{p}}_{x,após}=\mathrm{2,0} \hat{i} kg.m/s$

Em $y$:

${\overrightarrow{p}}_{y,antes}=m_B{\overrightarrow{v}}_{B,antes} \to {\overrightarrow{p}}_{y,antes}=0$

${\overrightarrow{p}}_{y,antes}={\overrightarrow{p}}_{y,após}=0$

Para calcular o ângulo $\beta$, trabalharemos com o eixo $x$:

${\overrightarrow{v}}_{x_A,após}=\mathrm{2,0} cos\alpha \hat{i}$

${\overrightarrow{v}}_{x_B,após}=\mathrm{4,47} cos\beta \hat{i}$

${\overrightarrow{p}}_{x,após}=m_A{\overrightarrow{v}}_{x_A,após}+m_B{\overrightarrow{v}}_{x_B,após}=\mathrm{2,0} \hat{i}$

$\mathrm{0,5} . \left(\mathrm{2,0} cos\alpha \hat{i}\right)+\mathrm{0,3} . \left(\mathrm{4,47} cos\beta \hat{i}\right)=\mathrm{2,0} \hat{i}$

Podemos escrever:

$cos\beta =\frac{\mathrm{2,0}-cos\alpha }{\mathrm{1,34}} \to cos\beta =\frac{\mathrm{2,0}-cos37°}{\mathrm{1,34}} \to cos\beta =\mathrm{0,896}$

$\beta =\arccos \left(\mathrm{0,897}\right) \to \beta \approx \mathrm{26,4}°$

Você pode conferir o resultado, utilizando o mesmo raciocínio para analisar o eixo $y$. Assim, você obterá:

$sen\beta =\frac{sen\left(37°\right)}{\mathrm{1,34}} \to sen\beta \approx \mathrm{0,448} \to \beta =arcsen\left(\mathrm{0,448}\right) \to \beta =\mathrm{26,6}°$

A pequena diferença entre os resultados é devido a arredondamentos.

Siga em Frente...

Coeficiente de restituição

Muitas colisões encontram-se em algum ponto entre os casos extremos: elástica, quando as velocidades relativas são trocadas, e perfeitamente inelástica, quando não existe velocidade relativa após a colisão.

O coeficiente de restituição é uma medida da elasticidade de uma colisão. Ele é usado na física para quantificar a capacidade de dois corpos colidirem e se afastarem mutuamente e é definido como a razão entre a rapidez de separação e a rapidez de aproximação:

$e=\frac{v_{sep}}{v_{apr}} \to e=\frac{v_{1,após}-v_{2,após}}{v_{1,antes }-v_{2,antes}}$

• $e=1$: representa uma colisão perfeitamente elástica, em que a energia cinética total do sistema é conservada antes e depois da colisão. Isso significa que os objetos se afastam um do outro com as mesmas velocidades relativas com que se aproximaram.
• $e=0$: representa uma colisão perfeitamente inelástica, na qual os objetos se juntam após a colisão e se movem como uma única massa. Nesse caso, a energia cinética total do sistema não é conservada.
• $0<e<1$: representa colisões parcialmente elásticas, em que parte da energia cinética é conservada, mas não toda.

A fórmula de  é usada quando se considera o movimento ao longo de uma única direção. Em colisões bidimensionais ou tridimensionais, a análise pode ser mais complexa, envolvendo componentes de velocidade em diferentes direções.

Vamos Exercitar?

Retomaremos a situação descrita no início dessa seção: o monitoramento do cometa G111. O cometa se fragmentou em dois fragmentos, A e B, e o fragmento B colidirá inelasticamente com o planeta Júpiter e o choque será frontal.

Júpiter: $m_J=\mathrm{1,9}\times {10}^{27} kg$,  $v_{J,antes}=\mathrm{13,0} km/s=\mathrm{13,0}\times {10}^3 m/s$

Fragmento B: $m_B=\mathrm{0,5}\times {10}^{3}kg, v_{B,antes}=\mathrm{748,6}\times {10}^3 km/h=\mathrm{207,9}\times {10}^3 m/s$

Como a colisão é frontal (unidimensional), podemos analisar apenas os módulos das grandezas. Como a colisão é inelástica, a velocidade do fragmento B e do planeta após a colisão é a mesma. Assim, pela lei de conservação do momento linear, temos:

$p_{total,antes}=p_{total,após} \to m_J{v}_{J,antes}+m_B{v}_{B,antes}=\left(m_J+m_B\right)v_{após}$

$v_{após}=\frac{m_J{v}_{J,antes}+m_B{v}_{B,antes}}{m_J+m_B}$

$v_{após}=\frac{\mathrm{1,9}\times {10}^{27} . \mathrm{13,0}\times {10}^3+\mathrm{0,5}\times {10}^3 . \mathrm{207,9}\times {10}^3}{\mathrm{1,9}\times {10}^{27}+\mathrm{0,5}\times {10}^3}$

$v_{após}=13\times {10}^3 m/s$

Veja que, após a colisão, a velocidade do planeta não se altera, ou seja, o momento linear do planeta Júpiter antes e após a colisão é o mesmo. Você consegue imaginar por quê?

$p_{J,antes}=p_{J,após}=m_j{v}_J=\mathrm{1,9}\times {10}^{27} . \mathrm{13,0}\times {10}^3=\mathrm{2,47}\times {10}^{31} kg.m/s$

Repare que a massa do planeta Júpiter é muito maior que a do fragmento do cometa. Dessa forma, o momento linear do planeta é muito maior comparado com o momento linear do fragmento do cometa. Então, mesmo sofrendo uma colisão, não há alterações significativas na velocidade e no momento linear planetário. Logo, você pode afirmar que o acontecimento não alterará a órbita de Júpiter.

Estimaremos a energia liberada após o choque. Vejamos, antes da colisão:

$E_{mec,antes}=K_B+K_J \to E_{mec,antes}=\frac{m_B{v}_{B,antes}^2}{2}+\frac{m_J{v}_{J,antes}^2}{2}$

$E_{mec,antes}=\frac{\mathrm{0,5}\times {10}^{13} . {\left(\mathrm{207,9}\times {10}^3\right)}^2}{2}+\frac{\mathrm{1,9}\times {10}^{27} . {\left(\mathrm{13,0}\times {10}^3\right)}^2}{2}$

$E_{mec,antes}=\frac{\mathrm{0,5}\times {10}^{13} . {\left(\mathrm{207,9}\times {10}^3\right)}^2}{2}+\frac{\mathrm{1,9}\times {10}^{27} . {\left(\mathrm{13,0}\times {10}^3\right)}^2}{2}$

$E_{mec,após}=K_B+K_J \to E_{mec,após}=\frac{m_B{v}_{B,após}^2}{2}+\frac{m_J{v}_{J,após}^2}{2}$

$E_{mec,após}=\frac{\mathrm{0,5}\times {10}^{13} . {\left(\mathrm{13,3}\times {10}^3\right)}^2}{2}+\frac{\mathrm{1,9}\times {10}^{27} . {\left(\mathrm{13,3}\times {10}^3\right)}^2}{2}$

$E_{mec,após}=\left(\mathrm{4,42}\times {10}^{20}+\mathrm{1,606}\times {10}^{35}\right) J$

Logo:

${∆E}_{mec}=E_{mec,após}-E_{mec,antes}$

${∆E}_{mec}=\left(\mathrm{4,42}\times {10}^{20}+\mathrm{1,606}\times {10}^{35}\right)-\left(\mathrm{1,081}\times {10}^{23}+\mathrm{1,606}\times {10}^{35}\right)$

$∆E_{mec}=-\mathrm{1,077}\times {10}^{23} J$

Para entendermos a magnitude do ocorrido, podemos comparar com a energia liberada em uma explosão de uma grande bomba atômica ($\approx {10}^{17}J$). O impacto do fragmento com o planeta Júpiter equivale a mais de um milhão delas. Uma energia estrondosa, não é mesmo?

Saiba Mais

Aprofunde seus conhecimentos!

Sugestão de leitura: Parte 1 – Capítulo 6 do livro:

HEWITT, P G. Física conceitual. 13. ed. Porto Alegre: Bookman, 2023.

Conheça o site da Khan Academy, com cursos, aulas e prática on-line gratuitos. Nele, você encontra vários vídeos e artigos sobre os temas explorados nessa aula. Acesse o material disponível na aba Colisões.

Você já conhece as simulações interativas da Universidade de Colorado? As sims PhET baseiam-se em extensa pesquisa em educação e envolvem os alunos através de um ambiente intuitivo, estilo jogo, no qual os alunos aprendem através da exploração e da descoberta. Acesse, em especial, o simulador: Laboratório de colisões.

Referências Bibliográficas

BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários. Porto Alegre: AMGH, 2012.

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física, volume 1: mecânica. 12. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2023.

HEWITT, P. G. Física conceitual. 13. ed. Porto Alegre: Bookman, 2023.

SERWAY, R. A.; JEWETT JR., J. W. Física para cientistas e engenheiros: volume 1: mecânica. São Paulo: Cengage Learning, 2017.

Centro de massa

Olá, estudante! Nesta videoaula, você conhecerá o conceito de centro de massa, o qual é fundamental em Física. Ele descreve o ponto médio de um sistema de partículas, no qual a distribuição de massa é equilibrada. Para um sistema de partículas, o centro de massa é o ponto em que a massa total do sistema pode ser considerada concentrada para efeitos de movimento.

O centro de massa é importante porque, em um sistema isolado, a posição do centro de massa não é afetada por interações internas entre as partículas do sistema. Além disso, quando consideramos o movimento de um corpo extenso, podemos tratar o corpo como se toda a sua massa estivesse concentrada no centro de massa para simplificar os cálculos de movimento.

Prepare-se para essa jornada de conhecimento! Vamos lá?

Ponto de Partida

Olá estudante! Seja bem-vindo.

Nesta seção, você verá que podemos reformular a lei da conservação do momento linear por meio de um novo conceito: centro de massa. Para isso, você precisará entender o que é centro de massa e saber como calculá-lo. Ainda, você aprenderá que podemos analisar o movimento de qualquer objeto, observando o que ocorre com o seu centro de massa. Em outras palavras, um movimento, aparentemente complicado, de um carro ou de uma pessoa, pode ser simplificado se determinarmos e estudarmos o centro de massa.

Agora, suporemos que, no seu trabalho na agência espacial, você precisa informar a posição do centro de massa do nosso sistema solar, considerando que o sistema é composto, principalmente, pelos seguintes corpos astronômicos: Sol, Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno, e que esses estão perfeitamente alinhados. É importante que esse caso extremo seja investigado para que as futuras missões espaciais possam ser planejadas. Será que a posição do centro de massa do nosso sistema solar, neste caso, estará dentro ou fora do Sol? Vamos descobrir?

Vamos começar? Bons estudos!

Vamos Começar!

Centro de massa

Podemos reformular a lei da conservação do momento linear de um modo útil em termos de conceito de centro de massa. Para isso, precisamos, primeiramente, entender esse novo conceito.

Definimos centro de massa como sendo o ponto geométrico no qual estão concentradas toda a massa e todas as forças externas do sistema.

No caso de objetos com formato de polígonos regulares, por exemplo, se o sistema apresentar uma distribuição uniforme de massas (sistema homogêneo), então o centro de massa coincidirá com o centro geométrico. Mas, isso nem sempre ocorre.

Aliás, nem sempre existe massa na posição do centro de massa de um sistema ou de um objeto. Pense em um anel, em que o centro de massa está localizado justamente no seu centro. Assim, reforçamos que o centro de massa é um ponto geométrico, e não um ponto material.

Se considerarmos um sistema composto de diversas partículas de massas $m_1$, $m_2$, $m_3$ e assim por diante, as coordenadas no plano cartesiano de $m_1$ são $(x_1,y_1)$, as de $m_2$ são $(x_2,y_2)$, as de $m_3$ são $(x_3,y_3)$, e assim sucessivamente.

Definimos o centro de massa do sistema, no plano cartesiano, como sendo o ponto cujas coordenadas $\left(x_{cm},y_{cm}\right)$ são dadas por:

$x_{cm}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2+m_3{x}_3+\dots +m_n{x}_n}{m_1+m_2+m_3+\dots +m_n}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i$

$y_{cm}=\frac{m_1{y}_1+m_2{y}_2+m_3{y}_3+\dots +m_n{y}_n}{m_1+m_2+m_3+\dots +m_n}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{y}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^n{m}_i{y}_i$

Em que $M=\sum _{i=1}^n{m}_i$ é a massa total do sistema.

Em palavras, podemos dizer que o centro de massa é a posição correspondente à média ponderada das posições das partículas que compõem o sistema.

Podemos, também, indicar a localização do centro de massa por meio do vetor posição ${\overrightarrow{r}}_{cm}$, que pode ser escrito em termos do vetor posição de cada partícula que compõe o sistema. Admitindo que os vetores posição partam todos da mesma origem, temos:

${\overrightarrow{r}}_{cm}=\frac{m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2+m_3{\overrightarrow{r}}_3+\dots +m_n{\overrightarrow{r}}_n}{m_1+m_2+m_3+\dots +m_n}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{r}}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{r}}_i$

Note que a expressão anterior é válida para objetos tridimensionais, não estando limitados ao plano cartesiano. Todos os objetos reais possuem um centro de massa bem definido.

${\overrightarrow{r}}_{cm}=x_{cm}\hat{i}+y_{cm}\hat{j}+z_{cm}\hat{k}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_{i }\hat{i}+\frac{1}{M}\sum _{i=1}^n{m}_i{y}_i\widehat{ j}+\frac{1}{M}\sum _{i=1}^n{m}_i{z}_i\hat{k}$

Exemplo: considere um sistema formado por três partículas, sendo que as massas e as posições no plano cartesiano de cada partícula são: $m_1=\mathrm{2,0} kg$ e $\left(x_1=0;y_1=-\mathrm{1,0}\right)$, $m_2=\mathrm{1,0} kg$ e $\left(x_2=\mathrm{1,0};y_2=0\right)$ e $m_3=\mathrm{2,0} kg$ e $\left(x_3=\mathrm{2,0};y_3=\mathrm{6,0}\right)$. Considere as coordenadas fornecidas no SI. Qual é a coordenada do centro de massa desse sistema?

Resolução: a coordenada horizontal do centro de massa, $x_{cm}$, é dada por:

$x_{cm}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2+m_3{x}_3}{m_1+m_2+m_3} \to x_{cm}=\frac{\mathrm{2,0} . 0+\mathrm{1,0} . \mathrm{1,0}+\mathrm{2,0} . \mathrm{2,0}}{\mathrm{2,0}+\mathrm{1,0}+\mathrm{2,0}}$

$x_{cm}=\mathrm{1,0} m$

A coordenada vertical do centro de massa, $y_{cm}$, é dada por:

$y_{cm}=\frac{m_1{y}_1+m_2{y}_2+m_3{y}_3}{m_1+m_2+m_3} \to y_{cm}=\frac{\mathrm{2,0} . \left(-\mathrm{1,0}\right)+\mathrm{1,0} . 0+\mathrm{2,0} . \mathrm{6,0}}{\mathrm{2,0}+\mathrm{1,0}+\mathrm{2,0}}$

$y=\mathrm{2,0} m$

Portanto, a coordenada do centro de massa do sistema é: $(x_{cm}=\mathrm{1,0} m;y_{cm}=\mathrm{2,0} m$).

Embora localizar o centro de massa para um corpo rígido seja um pouco mais difícil do que localizar o centro de massa de um pequeno número de partículas, as ideias básicas que discutimos ainda se aplicam. Pense em um corpo rígido como um sistema contendo um grande número de elementos de massa pequena. Como a separação entre elementos é muito pequena, o corpo pode ser considerado tendo distribuição de massa contínua. Dividindo o corpo em elementos de massa  com coordenadas $x_i$, $y_i$, $z_i$.

$x_{cm}\approx \frac{1}{M}\sum _{i=1}^n{x}_i∆m_i y_{cm}\approx \frac{1}{M}\sum _{i=1}^n{y}_i∆m_i z_{cm}\approx \frac{1}{M}\sum _{i=1}^n{z}_i∆m_i$

Se deixarmos o número de elementos $n$ se aproximar do infinito, o tamanho de cada elemento se aproxima de zero, e $x_{cm},$ $y_{cm}$ e $z_{cm}$ serão dados precisamente. Neste limite, substituímos a soma por uma integral e $∆m_i$ pelo elemento diferencial $dm$:

$x_{cm}=\frac{1}{M}\int x dm y_{cm}=\frac{1}{M}\int y dm z_{cm}=\frac{1}{M}\int z dm$

Podemos expressar o vetor posição do centro de massa de um corpo rígido na forma:

${\overrightarrow{r}}_{cm}=\frac{1}{M}\int \overrightarrow{r} dm$ 

Velocidade, momento linear e aceleração do centro de massa

Provavelmente, você está se perguntando o que ocorre com o centro de massa quando o sistema, formado por muitas partículas, se move. A velocidade do centro de massa também pode ser obtida por meio de uma média ponderada. Sejam ${\overrightarrow{v}}_1$, ${\overrightarrow{v}}_2$, ${\overrightarrow{v}}_3$, e assim por diante, as respectivas velocidades das partículas que compõem o sistema. A velocidade do centro de massa $v_{cm}$, em um determinado instante, será:

${\overrightarrow{v}}_{cm}=\frac{m_1{\overrightarrow{v}}_1+m_2{\overrightarrow{v}}_2+m_3{\overrightarrow{v}}_3+\dots +m_n{\overrightarrow{v}}_n}{m_1+m_2+m_3+\dots +m_n}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{v}}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{v}}_i$

O momento linear total do sistema é:

${\overrightarrow{p}}_{total}=\sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{v}}_i$

Podemos concluir que:

${\overrightarrow{v}}_{cm}=\frac{{\overrightarrow{p}}_{total}}{M} \to {\overrightarrow{p}}_{total}=M{\overrightarrow{v}}_{cm}$

Ou seja, o momento linear total é igual à massa total multiplicada pela velocidade do centro de massa do sistema.

Em particular, se o sistema for isolado, ou seja, a resultante das forças externas é nula ou desprezível, temos, pela lei de conservação do momento linear, que:

${\overrightarrow{p}}_{total}=constante$

Ou seja, nos sistemas isolados, se ${\overrightarrow{p}}_{total}=0$, o centro de massa está em repouso; se ${\overrightarrow{p}}_{total}\ne 0$, o centro de massa está em movimento com velocidade constante e, portanto, o centro de massa realiza um movimento retilíneo uniforme (MRU).

Exemplo: considere um sistema formado por duas esferas. A esfera A se move com velocidade constante de módulo igual a $\mathrm{12,0} m/s$ e se aproxima da esfera B, que está em repouso e possui o dobro de massa em relação à esfera A. Qual é o módulo da velocidade do centro de massa desse sistema?

A velocidade do centro de massa do sistema é dada pela expressão:

${\overrightarrow{p}}_{total}=M{\overrightarrow{v}}_{cm}$

Analisando essa equação em módulo e lembrando que, inicialmente, a esfera B está em repouso, temos que:

$m_A{v}_A+m_B{v}_B=\left(m_A+m_B\right)v_{cm} \to m_A . \mathrm{12,0}+m_B . 0=\left(m_A+2m_A\right)v_{cm}$

$v_{cm}=\frac{12m_A}{3m_A} \to v_{cm}=4 m/s$

 Quando a força externa resultante que atua sobre o sistema formado por várias partículas não é igual a zero, então não temos um sistema isolado, ou seja, o momento linear total não é conservado e a velocidade do centro de massa do sistema deve variar. Assim, o centro de massa deve adquirir certa aceleração, e podemos obtê-la por meio de uma média ponderada.

Sejam ${\overrightarrow{a}}_1$, ${\overrightarrow{a}}_2$, ${\overrightarrow{a}}_3$, e assim por diante, as respectivas acelerações das partículas que compõem o sistema. A aceleração do centro de massa ${\overrightarrow{a}}_{cm}$, em um determinado instante, será:

${\overrightarrow{a}}_{cm}=\frac{m_1{\overrightarrow{a}}_1+m_2{\overrightarrow{a}}_2+m_3{\overrightarrow{a}}_3+\dots +m_n{\overrightarrow{a}}_n}{m_1+m_2+m_3+\dots +m_n}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{a}}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{a}}_i$

Pela segunda lei de Newton, a força externa resultante é:

${{\overrightarrow{F}}_r=M\overrightarrow{a}}_{cm}$

Ou seja, quando forças externas atuam sobre um corpo, ou sobre um sistema formado por várias partículas, o centro de massa se move exatamente como se toda a massa estivesse concentrada nesse ponto e estivesse submetida a uma força igual à resultante de todas as forças que atuam sobre o sistema. Essa expressão traduz o teorema do centro de massa, e nós, certamente, já utilizamos esse resultado em diversas ocasiões, principalmente quando estudamos as aplicações das leis de Newton.

Siga em Frente...

É importante assimilar que podemos simplificar a análise do movimento de um corpo, estudando o que ocorre com o seu centro de massa, pois podemos imaginar que nesse ponto está concentrada toda a sua massa e está aplicada a resultante das forças externas que atuam no corpo.

A trajetória do centro de massa depende da sua velocidade inicial e da sua aceleração. Já vimos que a aceleração do centro de massa é imposta pela resultante das forças externas e, assim, podemos concluir que as forças internas ao sistema não podem alterar a trajetória do centro de massa. Dessa forma, explicamos por que somente forças externas podem alterar o movimento de um corpo. As forças internas se cancelam pelo princípio de ação e reação, portanto não produzem nenhum efeito sobre o movimento do corpo.

Exemplo: imagine um atleta saltando de um trampolim de uma piscina. Desprezando-se o efeito do ar, após se desligar do trampolim, o atleta fica sob ação exclusiva da força de gravidade constante (força peso). Na Unidade 1, vimos que os corpos que se movem com certa aceleração constante, e não nula, e possuem uma trajetória parabólica. Assim, podemos afirmar que a trajetória do centro de massa do atleta será uma parábola, independentemente de quantas piruetas e acrobacias ele realizar, pois as forças que produzem as piruetas e acrobacias são forças musculares internas do atleta, que não alteram a trajetória do centro de massa, como mostra a Figura 2.

Exemplo: considere uma granada lançada obliquamente. Desprezando-se o efeito do ar, a força resultante externa sobre a granada e a força peso, determinando assim certa aceleração e, portanto, uma trajetória parabólica para o centro de massa. Se durante seu trajeto a granada explodir, o centro de massa de cada fragmento continuará descrevendo a mesma trajetória parabólica descrita pelo centro de massa da granada antes da explosão, até que um dos fragmentos atinja o solo. As forças ligadas à explosão são forças internas e, portanto, não podem modificar a trajetória do centro de massa. Esse mesmo efeito ocorre nas explosões de fogos de artificio.

Vamos Exercitar?

Nosso objetivo nesse ponto é descobrir a posição do centro de massa do nosso sistema solar, considerando que o sistema é composto, principalmente, pelos seguintes corpos astronômicos: Sol, Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno, e que estes estão perfeitamente alinhados. A Tabela 1 mostra valores aproximados para as massas e os raios orbitais médios desses corpos em relação ao Sol (origem do sistema de coordenadas no centro do Sol). Os raios orbitais médios indicam a distância a partir do centro do Sol, assim, o centro do Sol é considerado a origem das posições. Será que o centro de massa do nosso sistema solar está dentro ou fora do Sol? (O raio do Sol é de, aproximadamente, $\mathrm{6,96}\times {10}^8 m.$)