Tópicos Elementares De Matemática

Operações com números reais

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Bons estudos!

Ponto de Partida

Olá, estudante!

Esperamos que esteja bem! Para começarmos nossos estudos, pense em situações em que podemos utilizar a ideia de fração. Por exemplo, quando seguimos alguma receita culinária, muitas vezes nos deparamos com instruções como: adicione $\frac{1}{4}$ 

de xícara de açúcar ou $\frac{3}{4}$ 

de xícara de leite. Perceba que as frações são muito utilizadas na resolução e na interpretação de diversas situações-problema de matemática e inerentes a nosso dia a dia.

As frações podem ser interpretadas como o resultado de uma divisão entre dois números, a razão e a proporção entre o total de pessoas vacinadas e o total da população de uma cidade, ou os problemas que envolvem medidas de grandezas, como a quantidade de ingredientes necessários para fazer um bolo.

Nesta aula, exploraremos o conceito de frações e de algumas operações matemáticas. Estudaremos as propriedades envolvendo a potenciação e a radiciação de números reais. Atente-se às propriedades e definições nesta aula, pois elas serão necessárias durante toda a disciplina para resolver diferentes problemas matemáticos.

Para que você compreenda como podemos utilizar esses conceitos, pense na seguinte situação: a idade de João é

$\frac{1}{4}$ da raiz quadrada de 1024. A idade de seu pai é igual ao inverso do cubo de $\frac{3}{9}$ 

mais a idade de João. Qual é a idade do pai de João?
Para encontrarmos a idade do pai de João, precisamos entender os conceitos de fração, potenciação e radiciação.

Bons estudos!

Vamos Começar!

Para iniciar nossa jornada de estudo, é fundamental compreender as propriedades dos conjuntos numéricos que empregamos.

Quando vamos contar quantidades, utilizamos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 etc. Qual característica esses números têm em comum? Todos são inteiros e positivos. O conjunto que reúne elementos com essa característica é denominado conjunto dos números naturais, representado pelo símbolo ℕ; além disso, esse conjunto é infinito. Você pode perguntar: e os números inteiros negativos? A qual conjunto pertencem? Os números inteiros negativos pertencem ao conjunto dos números inteiros, representado por ℤ. Podemos dizer, ainda, que esse conjunto é a união do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos, isto é, o conjunto dos números inteiros é formado pelos números inteiros positivos e negativos. Já o conjunto dos números racionais, ℚ, reúne os números que pertencem ao conjunto dos números inteiros e os números decimais que podem ser representados em forma de fração:

$\mathrm{\mathbb{Q}}=\left\{x,x=\frac{a}{b}, com a\in \mathrm{\mathbb{Z}}\mathbb{ }e b\in \mathrm{\mathbb{Z}}\mathbb{ }e b\ne 0\right\}$

E aqueles números que não podemos representar em forma de fração? Estes compõem o conjunto dos números irracionais e têm como característica o fato de serem números cuja parte decimal é infinita e não periódica, isto é, não são dízimas periódicas, como o número $\pi =\mathrm{3,141592654}\dots$ Por fim, o conjunto dos números reais, ℝ, é formado pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais (Hazzan, 2021). A Figura 1 traz uma representação dos conjuntos numéricos.

Agora que você já conhece os conjuntos numéricos, vamos nos aprofundar nos conceitos de fração, potenciação e radiciação.
 

Fração

Como vimos, o conjunto dos números racionais é composto de todos os números inteiros que podem ser representados em forma de fração. Mas o que é uma fração? Uma fração pode ser definida como uma maneira de representar partes iguais de um todo.

Imagine que uma barra de chocolate foi dividida em 18 pedaços iguais e que você comeu 6 desses pedaços; podemos representar essa quantidade da seguinte forma:

$\frac{6}{18}$

O 18, chamado de denominador, representa o número de partes iguais em que o todo foi dividido; e o 6, chamado de numerador, indica o número considerado dessas partes. Representamos uma fração da seguinte maneira:

$\frac{a}{b}$

em que a é o numerador e b, o denominador. O denominador tem que ser diferente de 0.

Um conceito importante relacionado às frações é o de equivalência. Observe as duas frações que seguem:

$\frac{3}{4} \mathrm{e} \frac{12}{16}$

Essas duas frações têm numeradores diferentes, porém representam a mesma quantidade, conforme ilustra a Figura 2.

Quando duas ou mais frações representam a mesma parte do todo, dizemos que elas são frações equivalentes. Para encontrar uma fração equivalente, podemos utilizar a seguinte propriedade: ao multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural não nulo, sempre obteremos uma fração equivalente à inicial (Hazzan, 2021). Vamos encontrar algumas frações equivalentes a $\frac{1}{2}$.

De acordo com a propriedade, basta que multipliquemos tanto o numerador quanto o denominador pelo mesmo número natural:

$\frac{1}{2}=\frac{3}{6} \mathrm{pois}, \left\{\begin{array}{c}1\cdot 3=3\\ 2\cdot 3=6\end{array}\right.$

Uma consequência dessa propriedade é que se dividirmos o numerador e o denominador de qualquer fração por um mesmo número natural, o resultado será uma fração equivalente à original, por exemplo:

$\frac{15}{10}=\frac{3}{2} \mathrm{pois}, \left\{\begin{array}{c}15÷5=3\\ 10÷5=2\end{array}\right.$

Podemos concluir que, para uma fração qualquer, existem infinitas frações equivalentes a ela. Vamos analisar o seguinte exemplo:

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{4}{8}=\frac{8}{16}=\frac{16}{32}=\frac{32}{64}$

O conceito de fração equivalente é essencial para compreendermos como funcionam os procedimentos que envolvem operações com frações. Dadas duas ou mais frações, podemos realizar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.

 

Adição e subtração 

Para as operações de adição e subtração, temos que nos atentar ao denominador das frações.

• Se as frações possuem o mesmo denominador, devemos conservá-los e somar os numeradores. Por exemplo:

$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$

 

$\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Se as frações possuem denominadores diferentes, temos que fazer a redução ao mesmo denominador e depois passar à adição ou subtração dos numeradores. Mas como reduzir as frações ao mesmo denominador? Precisamos encontrar frações equivalentes que têm o mesmo denominador. Uma forma de fazer isso é utilizando o mínimo múltiplo comum (MMC), que corresponde ao menor número natural, diferente de zero, múltiplo dos denominadores. Para encontrar o MMC, você pode utilizar o método da fatoração; ou seja, decompor os números em fatores primos. Vamos resolver a seguinte adição:

$\frac{7}{32}+\frac{6}{15}=$

Veja que os denominadores são diferentes, logo temos que reduzir as frações a um mesmo denominador. O primeiro passo é encontrar o MMC de 32 e 15 (Figura 3).

Após encontrar o MMC, temos que determinar as frações equivalentes, o que requer o procedimento apresentado na Figura 4.

Multiplicação e divisão

Diferentemente da adição e da subtração, a multiplicação de frações não depende que os denominadores sejam iguais. Basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador; por exemplo:

$\frac{10}{7}\cdot \frac{6}{5}=\frac{10\cdot 6}{7\cdot 5}=\frac{60}{35}=\frac{12}{7}$

Para dividirmos duas frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda; por exemplo:

$\frac{1}{2}÷3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

Tendo em vista o que você estudou até o momento, vamos resolver o seguinte problema: a família de João mora em uma chácara onde a construção de sua casa ocupa $\frac{3}{7}$ 

de um terreno. No restante do terreno, João tem plantações de frutas da época, criação de animais e uma área sem nenhuma utilização específica. Do terreno restante, $\frac{1}{4}$ 

é destinado à plantação de frutas e $\frac{1}{9}$, 

à criação dos animais. Qual é a fração que representa a área do terreno sem nenhuma utilização específica?

O primeiro passo é encontrar a quanto corresponde a parte sem a construção da casa:

$1-\frac{3}{7}=\frac{7}{7}-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$

Desses $\frac{4}{7}$ 

sabemos que $\frac{1}{4}$ 

foi destinado à plantação de frutas e $\frac{1}{9}$, 

à criação de animais. Assim, precisamos saber qual é a fração correspondente à área que tem alguma utilização:

$\frac{1}{4}+\frac{1}{9}=\frac{13}{36}$

Essa fração é referente a $\frac{4}{7}$. 

Assim, precisamos encontrar quanto vale:

$\frac{13}{36} \mathrm{de} \frac{4}{7}$

 

$\frac{13}{36}\cdot \frac{4}{7}=\frac{13}{63}$

Essa fração corresponde à área ocupada. Para descobrirmos a área que não tem utilização, precisamos subtrair $\frac{13}{63}$ de $\frac{4}{7}$:

$\frac{4}{7}-\frac{13}{63}=\frac{23}{63}$

Logo, a fração que representa a área do terreno sem nenhuma utilização específica é$\frac{23}{63}$.

Siga em Frente...

Potenciação

Em linhas gerais, a potenciação é uma operação matemática em que multiplicamos um número por ele mesmo sucessivas vezes.

$3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

De modo abreviado, podemos escrever essa multiplicação da seguinte forma (lemos: três elevado à oitava potência, ou três elevado a oito). Chamamos o número 3 de base e o número 8 de expoente.

Por definição, temos que: dado um número real a e um número natural , chamamos de potência de base a e expoente n o número , sendo o expoente o número de vezes que a base é multiplicada por ela mesma (Hazzan, 2021). Observe a Figura 5.

Por exemplo,

• $4^5=4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4=1024$
• $2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$

Vimos até o momento potências com a base positiva, porém pela definição a base pode ser um número real; logo, a base pode ser um número inteiro negativo. Vamos analisar os seguintes exemplos:

${\left(-4\right)}^2=+16$

${\left(-4\right)}^3=-64$

Perceba que o resultado da potenciação cuja base é negativa e cujo expoente é par é um valor positivo (Figura 6).

Quando a base é negativa e o expoente é ímpar, temos um resultado negativo (Figura 7).

Assim, em uma potência cuja base é um número inteiro, temos que:

• Se a base é positiva, o resultado é um número positivo.
• Se a base é negativa, o resultado é positivo quando o expoente é par, e negativo quando o expoente é ímpar.

Quando estiver resolvendo uma potência de base negativa, fique atento aos parênteses, pois isso altera o resultado. Vamos analisar o seguinte exemplo:

$-5^2\ne {\left(-5\right)}^2$

Quando escrevemos -5², a base é 5; isto é, o número que está sendo multiplicado por ele mesmo é o 5, logo

$-5^2=-\left(5\cdot 5\right)=-25$

Agora, quando estamos realizando a operação (-5)², a base é o número -5, logo

${\left(-5\right)}^2=\left(-5\right)\cdot \left(-5\right)=25$

Você pode se perguntar: e quando a base é uma fração? A operação segue as mesmas propriedades de quando a base é um número inteiro. Lembre-se que o expoente indica quantas vezes a base é multiplicada por ela mesma, e nesse caso a base é uma fração, logo teremos que utilizar a operação de multiplicação de frações. Veja os exemplos:

${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

${\left(-\frac{2}{3}\right)}^3=-\frac{2}{3}\cdot -\frac{2}{3}\cdot -\frac{2}{3}=-\frac{8}{27}$

Conforme vimos, o expoente de uma potência deve ser um número natural, logo ele pode assumir os valores 1 e 0. Nesses casos, temos que:

• Toda potência cuja base é um número inteiro e o expoente é 1, o resultado é igual à própria base.
• Toda potência cuja base é um número inteiro não nulo e o expoente é 0, o resultado é igual a 1.

 

Propriedades da potenciação

Quando falamos em potenciação, não podemos deixar de explorar as propriedades que envolvem esse conceito. Para isso considere que m e n são dois números naturais e a e b, dois números reais diferentes de zero (Quadro 1).

Nome da propriedade	Propriedade	Exemplo
Multiplicação de potência de mesma base	$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$	$2^3\cdot 2^5=2^{3+5}=2^8$
Divisão de potência de mesma base	$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$	$\frac{4^5}{4^4}=4^{5-4}=4^1=4$
Potência de uma potência	${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}$	${\left(2^3\right)}^2=2^{3\cdot 2}=2^6=64$
Potência de um produto	${\left(a\cdot b\right)}^n=a^n\cdot b^n$	${\left(2\cdot 5\right)}^3={\left(2\right)}^3\cdot {\left(5\right)}^3=8\cdot 125=1000$
Potência de um quociente	${\left(a÷b\right)}^n=a^n÷b^n$	${\left(\frac{5}{4}\right)}^3=\frac{{\left(5\right)}^3}{{\left(4\right)}^3}=\frac{125}{64}$
Potência de expoente inteiro	$a^{-n}=\frac{1}{a^n}={\left(\frac{1}{a}\right)}^n$	$2^{-3}=\frac{1}{2^3}$

Quadro 1 | Propriedades da potenciação. Fonte: elaborado pela autora.

Radiciação

A raiz de um número real a que tenha como índice um número natural n > 1 pode ser representada como mostra a Figura 8.

Por definição, temos que:

$\sqrt[n]{a}=b ⟺b^n=a$

Logo, quando vamos calcular a raiz enésima de um número a, buscamos um número b que quando elevado ao índice n resulta no radicando a.

Por exemplo:

$\sqrt{9}=3,\mathrm{ }\mathrm{pois} 3^2=9$

$\sqrt[3]{27}=3,\mathrm{ }\mathrm{pois} 3^3=27$

$\sqrt[4]{16}=2,\mathrm{ }\mathrm{pois} 2^4=16$

Ao falarmos em radiciação, temos que nos atentar para um caso especial, em que o índice da raiz é um número par e o radicando é um número inteiro negativo. Nesses casos, a operação de radiciação não é definida, pois estamos trabalhando no conjunto dos números reais, e nesse conjunto não é possível encontrar um valor b de tal forma que quando elevado ao índice par resulte em um radical negativo. Quando temos um índice ímpar, conseguimos calcular normalmente a raiz mesmo o radicando sendo um número negativo; por exemplo:

$\sqrt[3]{-8}=-2 \mathrm{pois} {\left(-2\right)}^3=-8$

$\sqrt[5]{-3125}=-5 \mathrm{pois} {\left(-5\right)}^5=-3125$

Propriedades da radiciação

Vamos conhecer algumas propriedades que podem auxiliar nos cálculos que envolvem essa operação. Para isso, considere n um número natural maior que 1 a um número real positivo (Quadro 2).

Nome da propriedade	Propriedade	Exemplo
Raiz de uma potência	$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$	$\sqrt[4]{2^5}=2^{\frac{5}{4}}$
Potência de uma raiz	${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$	${\left(\sqrt{4}\right)}^3=\sqrt{4^3}$

Quadro 2 | Propriedades da radiciação. Fonte: elaborado pela autora.

Simplificação de radicais por meio da fatoração

Podemos utilizar a decomposição em números primos para simplificar e, em alguns casos, até mesmo eliminar radicais. Para isso, primeiro decompomos o radical em fatores primos utilizando a fatoração e, depois, simplificamos os expoentes divisíveis pelo índice da raiz. Vamos calcular a raiz quadrada do número 512. O primeiro passo é decompor o número em fatores primos (Figura 9).

Agora vamos reescrever nossa raiz e utilizar as propriedades:

$\sqrt{512}=\sqrt{2^9}=\sqrt{2^8\cdot 2}=\sqrt{2^8}\cdot \sqrt{2}=2^{\frac{8}{2}}\cdot \sqrt{2}$

$=2^4\sqrt{2}=16\sqrt{2}$

O entendimento das propriedades associadas à potenciação e à radiciação é de extrema importância para solucionar uma variedade de problemas matemáticos. Portanto, é fundamental que você esteja familiarizado com todas essas propriedades.

Vamos Exercitar?

Como você já adquiriu conhecimento acerca das propriedades de frações, potenciação e radiciação, podemos agora resolver nossa situação inicial, que consiste em encontrar a idade do pai de João sabendo que a idade de João é $\frac{1}{4}$ 

da raiz quadrada de 1024. A idade de seu pai é igual ao inverso do cubo de $\frac{3}{9}$ 

mais a idade de João.

A fim de encontrarmos a idade de João, primeiramente temos que determinar qual é a raiz quadrada de 1024, isto é, $\sqrt{1024}$. 

Para isso, podemos fatorar o número 1024 em números primos (Figura 10).

Reescrevendo a raiz, temos:

$\sqrt{1024}=\sqrt{2^{10}}=2^{\frac{10}{2}}=2^5=32$

A idade de João é dada por $\frac{1}{4}$ 

de $\surd 1024$, ou seja:

$\frac{1}{4} \mathrm{de} 32=\frac{1}{4}\cdot 32=\frac{32}{4}=8$

Portanto, João tem 8 anos. A idade de seu pai é igual ao inverso do cubo de $\frac{3}{9}$ mais a idade de João. Primeiramente, temos que encontrar o cubo de $\frac{3}{9}$, 

isto é:

${\left(\frac{3}{9}\right)}^3=\frac{3^3}{9^3}=\frac{27}{729}=\frac{1}{27}$

O inverso de $\frac{1}{27}$ 

é 27. Assim, a idade do pai de João é $27+8=35$anos.

Saiba Mais

Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto, recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Para que você possa resolver exercícios referentes ao conceito de fração, indicamos a leitura do capítulo 1 (Operações com números naturais e fracionários) do livro Matemática básica: para administração, economia, contabilidade e negócios. Selecione alguns exercícios das seções 1.3 e 1.4 e os faça. Ao final da seção, você pode encontrar as respectivas respostas.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre potenciação e radiciação, sugerimos a leitura das seções 1.8 (Potências) e 1.9 (Raízes) do livro Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. 

Referências Bibliográficas

GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/. Acesso em: 17 out. 2023.

HAZZAN, S. Matemática básica: para administração, economia, contabilidade e negócios. São Paulo: Grupo GEN, 2021. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/. Acesso em: 17 out. 2023.

SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática básica para cursos superiores. 2. ed. São Paulo: Grupo GEN, 2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/. Acesso em: 17 out. 2023.

Equação

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Bons estudos!

Ponto de Partida

Olá, estudante!

Esperamos que esteja bem! Como podemos representar matematicamente a seguinte frase: “O dobro de um número menos seu triplo é igual 10”? Geralmente utilizamos a letra $x$ para representar esse número desconhecido: $2\cdot x+3x=10$. Essa expressão é o que denominamos equação. Como resolver esse tipo de equação? Existem outros tipos de equações? Essas são algumas das questões a serem discutidas nesta aula. Além disso, estudaremos os logaritmos e suas propriedades.

A fim de que você perceba como podemos aplicar o conceito de equações e logaritmos para solucionar problemas, analise a situação a seguir.

Imagine que você esteja poupando dinheiro para uma viagem e decidiu realizar uma aplicação com um valor que você tinha. Após pesquisar diferentes tipos de investimentos, você ficou indeciso entre dois deles. O primeiro é uma aplicação em regime de juros simples, com uma taxa de 2,5% ao mês, enquanto o segundo é um investimento em regime de juros compostos, com uma taxa de 2% ao mês. Suponha que o valor total no final de um período da aplicação em regime de juros simples seja dado por $M = C(1 + \mathrm{0,025}t)$, onde $C$ é o capital inicial investido e $t$ é o tempo em que o dinheiro está aplicado. Além disso, o montante ao final do período da aplicação em regime de juros compostos é dado por $M = C{\left(1 + \mathrm{0,02}\right)}^t$, onde $C$ é o capital inicial investido e $t$ é o tempo em que o dinheiro está aplicado. Com um investimento inicial de R$ 2.000,00, você deseja saber em quanto tempo alcançará um montante de R$ 7.000,00 em cada um dos tipos de aplicação.

Para resolvermos esse problema, precisamos entender os conceitos de equação e logaritmo.

Bons estudos!

 

Vamos Começar!

Como podemos representar matematicamente a seguinte frase: “O dobro de um número menos o seu triplo”? Se considerarmos que o número possa ser representado pela letra $x$, teremos a seguinte expressão: $2x – 3x$. Perceba que utilizamos uma letra para representar um número desconhecido; essa letra é denominada incógnita, e a expressão que escrevemos utilizando essa incógnita é denominada expressão algébrica. São exemplos de expressões algébricas:

$z+\frac{3z}{2}$

$\sqrt{t-2}$

$3x^2+2x+5x$

Uma expressão algébrica pode ser considerada o conjunto de letras e números ligados entre si por operações quaisquer, como adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação (Silva; Silva; Silva, 2018). O elemento fundamental de uma expressão algébrica é o termo, composto de um número, denominado coeficiente, e de uma incógnita, denominada parte literal. A Figura 1 mostra exemplos de termos algébricos.

Denominamos valor numérico de uma expressão algébrica o número que se obtém quando atribuímos valores às incógnitas e efetuamos as operações indicadas; por exemplo, o valor numérico da expressão algébrica $2x – 3y$ quando

$x=1 \mathrm{e} y=2$

é

$2\cdot 1-3\cdot 2=2-6=-4$

Um conceito importante relacionado ao de expressões algébricas é o de termos semelhantes. Dizemos que dois termos ou mais são semelhantes quando as partes literais são as mesmas. 

Por exemplo, $3x$ e $4x$ são termos semelhantes, pois ambos possuem a mesma parte literal, no caso $x$. Por outro lado, os termos $7x²$ e $7x$ não são termos semelhantes, visto que a parte literal do primeiro termo é $x²$ e a do segundo termo é $x$.

Agora que você adquiriu certo entendimento sobre o conceito de expressões algébricas, estamos prontos para explorar o tema das equações e suas soluções.

 

Equação e inequação do primeiro grau

Quando existe uma igualdade entre duas expressões algébricas, denominamos equação. Em particular, a equação será de uma incógnita quando as expressões algébricas tiverem apenas uma incógnita; por exemplo:

$2x+3=4x-5$

$x^2+3x=16x-5$

Ao escrevermos equações, temos como objetivo encontrar o valor desconhecido, isto é, o valor da incógnita que torne a igualdade válida. Chamamos esse valor de raiz ou solução da equação. Vamos verificar se $x = -5$ e $x = 3$são soluções da equação $x² + 2x -15 = 0$. Para isso, temos de substituir os valores dados na equação e observar se teremos uma igualdade válida.

$x^2+2x-15=0 \left(\mathrm{equação}\mathrm{ }\mathrm{original}\right)$

${\left(-5\right)}^2+2\left(-5\right)-15=25-10-15=0 (\mathrm{quando}\mathrm{ }\mathrm{fazemos}\mathrm{ }\mathrm{x}=-5)$

${\left(3\right)}^2+2\left(3\right)-15=9+6-15=0 (\mathrm{quando}\mathrm{ }\mathrm{fazemos}\mathrm{ }\mathrm{x}=3)$

Como em ambos os casos conseguimos uma igualdade válida, temos que $x = -5$ e $x = 3$são soluções da equação.

Ao lidar com a resolução de uma equação, o passo inicial é o que chamamos de simplificação. Geralmente, isso é alcançado ao eliminarmos os denominadores e agruparmos termos semelhantes. A simplificação baseia-se em dois princípios que não alteram o valor de cada uma das raízes.

• Princípio da adição ou subtração (princípio da transposição): em toda equação, podemos adicionar um mesmo termo a ambos os seus membros, assim como subtrair (Hazzan, 2021).
• Princípio da multiplicação ou divisão: em toda equação, podemos multiplicar ou dividir os termos dos dois membros de uma equação por um número diferente de zero (Hazzan, 2021).

Utilizando essas propriedades, vamos resolver a equação $12x – 26 = 34$. Nosso objetivo é isolar a incógnita $x$. O primeiro passo será eliminar o termo (-26); para isso, usamos o princípio da transposição e adicionamos 26 a ambos os membros da equação:

$12x-26+26=34+26$

$12x-0=60$

$12x=60$

Com isso, obtemos uma equação mais simples. Agora, para isolar o  utilizaremos o princípio da divisão e dividiremos todos os termos da equação por 12:

$12x=60$

$\frac{12x}{12}=\frac{60}{12}$

$x=5$

Você provavelmente já ouviu a orientação “passa para o outro lado” quando o assunto é resolver uma equação. Por exemplo, quando é preciso eliminar um termo que aparece somado ou subtraído de um dos lados de uma equação, é comum “passar o termo para o outro lado com o sinal trocado”.

É preciso ter cuidado com essa indicação, pois é muito comum utilizá-la quando estamos tratando de um termo envolvido em um produto ou uma divisão. Então, em vez de dizermos que para isolar a incógnita devemos “passar o termo para o outro lado com o sinal trocado”, podemos dizer que devemos “passar o termo para o outro lado com a operação inversa”.

A depender das características das equações, podemos classificá-las. Chamamos de equação do primeiro grau com uma incógnita, ou equação linear, toda equação que, após simplificação, se reduz à forma (Hazzan, 2021)

$a\cdot x=b, \mathrm{em}\mathrm{ }\mathrm{que}\mathrm{ }a\mathrm{ }\mathrm{e}\mathrm{ }b\mathrm{ }\mathrm{são}\mathrm{ }\mathrm{constantes}\mathrm{ }\mathrm{e}\mathrm{ }a\ne 0$

Observe que o grau da incógnita é 1 e, para resolvermos esse tipo de equação, utilizamos os princípios citados anteriormente.

Agora, abordaremos um problema em que as equações lineares podem ser aplicadas: “o dobro de um número menos seu triplo é igual ao número somados 16”. O primeiro passo é escrever esse problema em termos matemáticos; para isso representaremos o número desconhecido com y:

$2y-3y=16+y$

Trata-se de uma equação do primeiro grau, visto que a incógnita possui grau 1. Para resolvê-la, temos que aplicar os princípios vistos anteriormente:

$2y-3y=16+y$

$-y=16+y$

$-y-\mathit{y}=16+y-\mathit{y}$

$-2y=16$

$\frac{-2y}{-2}=\frac{16}{-2}$

$y=-8$

E se, em vez do sinal de igualdade, estivéssemos diante de um sinal de desigualdade? Qualquer sentença de duas expressões algébricas, com uma incógnita, separadas por um dos símbolos de desigualdade é denominada inequação. Os símbolos de desigualdade estão listados na Tabela 1.

Símbolo	Significado
$<$	Menor que
$\le$	Menor ou igual
$>$	Maior que
$\ge$	Maior ou igual

Tabela 1 | Sinais de desigualdade. Fonte: elaborada pela autora.

São exemplos de inequações:

$x+3>2$

$x^2+5x\le 3$

Para verificarmos se um número real é solução de uma inequação, basta substituí-lo nas expressões envolvidas e analisar se a desigualdade é satisfeita. Ocorre que geralmente não queremos saber apenas se um número é solução de uma desigualdade, mas sim resolvê-la, ou seja, encontrar todos os valores da incógnita que fazem com que a desigualdade seja verdadeira. Para encontrarmos a solução de uma inequação, podemos simplificá-la utilizando duas propriedades, assim como as equações (Hazzan, 2021).

• Princípio da transposição: em toda inequação, podemos adicionar um mesmo termo a ambos os seus membros, assim como subtrair.
• Princípio da multiplicação ou divisão: em toda inequação, podemos multiplicar ou dividir os termos dos dois membros por um número positivo, mantendo o sinal da desigualdade. Além disso, em toda inequação, podemos multiplicar ou dividir os termos dos dois membros por um número negativo invertendo o sentido da desigualdade.

Vamos aplicar essas propriedades para simplificar a inequação $5(x – 6) > 3(x – 8)$. O primeiro passo é utilizar a propriedade distributiva e, depois, aplicar as propriedades citadas anteriormente:

$5\left(x-6\right)>3(x-8)$

$5x-30>3x-24$

$5x-30-3\mathit{x}>3x-24-3\mathit{x}$

$2x-30>-24$

$2x-30+30>-24+30$

$2x>6$

$\frac{2x}{2}>\frac{6}{2}$

$x>3$

Quando a incógnita possui grau 1 e a inequação pode ser simplificada no tipo $ax > b$, ou $ax < b$, ou $ax \ge b$, ou $ax \le b$em que $a$ e $b$ são números quaisquer com $a \ne 0$, trata-se de uma inequação do primeiro grau. Para resolver uma inequação do primeiro grau, utilizamos os princípios citados anteriormente. Por exemplo:

$2\left(x-8\right)\ge 4\left(2x+1\right)$

$2x-16\ge 8x+4$

$2x-16-8\mathit{x}\ge 8x+4-8\mathit{x}$

$-6x-16\ge 4$

$-6x-16+16\ge 4+16$

$-6x\ge 20$

$-\frac{6x}{-6}\le \frac{20}{-6}$

$x\le -\frac{10}{3}$

Perceba que, na penúltima linha da desigualdade, o sinal foi invertido. Pelo princípio da multiplicação ou divisão, quando dividimos ou multiplicamos a inequação por um número negativo, invertemos a desigualdade.

Siga em Frente...

Equação exponencial

Denominamos equação exponencial a equação que envolve termos em que a incógnita aparece no expoente; por exemplo:

$2^x=8$

$e^x=20 \left(\mathrm{nesse}\mathrm{ }\mathrm{caso}\mathrm{ }e \mathrm{é}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{número}\mathrm{ }\mathrm{de}\mathrm{ }\mathrm{Euler}\mathrm{ }e=\mathrm{2,718281}\dots \right)$

Para solucionarmos uma equação desse tipo, utilizamos as propriedades de potência e o fato de que se $a^{x_1}=a^{x_2}$  então $x_1=x_2$. . Nesse sentido, o primeiro passo é reescrever a equação de modo que ambos os termos tenham a mesma base. Por exemplo, para resolver a equação $2^x=1024$, o primeiro passo é verificar se é possível reescrever 1024 na base 2. Ao fatorar 1024, temos que $1024=2^{10}$, logo reescrevendo a equação temos:

$2^x=1024$

$2^x=2^{10}\to x=10$

Você pode estar se questionando: e se não for possível reescrever ambos os termos com a mesma base? Nesse caso, usamos as propriedade de logaritmo.

 

Logaritmos

Dados números reais $a$, $b$ e $x$ tais que $a>0$, $a\ne 1$ e $b>0$, dizemos que o logaritmo de $b$ na base $a$ é igual a $x$, se e somente se a x-enésima potência de $a$ for igual a $b$, e denotamos como ${\log }_{a}b=x ⟺a^x=b$ (Figura 2).

Observe que, para encontrar o logaritmo de um número, precisamos resolver uma equação exponencial; por exemplo, vamos calcular o ${\log }_{2}1024$. Pela definição temos que:

${\log }_{2}1024=x⟺2^x=1024$

$2^x=2^{10}\to x=10$

Quando trabalhamos com logaritmo de base 10, também conhecido como logaritmo decimal, é comum não escrever a base. Por exemplo, $\log 100={\log }_{10}100$. Outra base muito utilizada é o número de Euler $\left(e\right)$, que pode ser representado por ${\log }_{e}b=\ln b$. 

Ao abordar o tema dos logaritmos, é fundamental explorar as propriedades associadas a esse conceito. Seja $a$ uma constante real tal que $a > 0$ e $a \ne 1$, e seja $d$uma constante real qualquer. Se $b > 0$ e $c > 0$, então, teremos as propriedades apresentadas no Quadro 1.

Propriedade	Exemplo
${\log }_{a}1=0$	${\log }_{3}1=0$
${\log }_{a}a=1$	${\log }_{2}2=1$
${\log }_a\left(a^x\right)=x$	${\log }_3\left(3^x\right)=x$
$a^{{\log }_{a}x}=x$	$e^{{\log }_{e}4}=4$ ou $e^{\ln 4}=4$
${\log }_a\left(b\cdot c\right)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$	${\log }_2\left(2\cdot 8\right)={\log }_{2}2+{\log }_{2}8$
${\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$	${\log }_2\left(8\cdot 2\right)={\log }_{2}8-{\log }_{2}2$
${\log }_a\left(b^d\right)=d{\log }_{a}b$	${\log }_2\left(8^4\right)=4{\log }_{2}8$

Quadro 1 | Propriedades de logaritmos. Fonte: elaborado pela autora.

Embora seja possível definir o logaritmo em qualquer base maior que zero e diferente de 1, calculadoras geralmente exibem apenas dois tipos de logaritmos: o logaritmo decimal e o logaritmo natural. Dado que as calculadoras oferecem logaritmos apenas nas bases 10 e $e$, é necessário desenvolver uma estratégia para calcular logaritmos em bases diferentes (Gomes, 2018). Utilizando a propriedade de mudança de base, podemos escrever um logaritmo em qualquer base que nos convenha. Sejam $a$, $b$ e $c$ números reais maiores que zero, e suponha que $a \ne 1$e $c \ne 1$, então

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

Por exemplo, considerando que $\log 3\approx \mathrm{0,477}$ e que $\log 2\approx \mathrm{0,301}$, vamos determinar ${\log }_{2}3$. Observe que temos o valor do logaritmo de 3 e de 2 na base 10, assim podemos mudar a base 2 para a base 10:

${\log }_{2}3=\frac{\log 3}{\log 2}=\frac{\mathrm{0,477}}{\mathrm{0,301}}\approx \mathrm{1,58}$

Como mencionado anteriormente, ressaltamos que os logaritmos podem ser empregados na resolução de certos tipos de equações exponenciais. Agora, vamos observar um exemplo de como podemos aplicá-los. A equação $4^x=5$ pode ser resolvida com a aplicação de logaritmos em ambos os lados. Você pode aplicar logaritmo de qualquer base nessa equação, mas recomendamos que opte pelo logaritmo na base 10 ou na base $e$, visto que a calculadora inclui essas bases. Assim, teremos:

$4^x=5$

$\log 4^x=\log 5$

$x\log 4=\log 5$

$x=\frac{\log 5}{\log 4}\approx \mathrm{1,16}$

Vamos agora resolver a equação $6^{x-1}+3=7$.

$6^{x-1}+3=7$

$6^{x-1}=7-3$

$6^{x-1}=4$

$\log 6^{x-1}=\log 4$

$\left(x-1\right)\log 6=\log 4$

$x-1=\frac{\log 4}{\log 6}$

$x=\frac{\log 4}{\log 6}+1$

$x\approx \mathrm{1,77}$

Familiarize-se com essas propriedades de logaritmo, pois elas desempenham um papel fundamental na resolução de problemas, como aqueles relacionados a juros compostos e outros.

Vamos Exercitar?

Como você já adquiriu conhecimento acerca de equações, estamos preparados para resolver nossa situação inicial, que consiste em saber em quanto tempo você alcançará um montante de R$ 7.000,00 em cada um dos tipos de aplicação.

A primeira aplicação é em regime de juros simples, com uma taxa de 2,5% ao mês; o montante ao final de um período é dado pela expressão $M = C(1 + \mathrm{0,025}t)$, onde $C$ é o capital inicial investido e $t$ é o tempo em que o dinheiro está aplicado. O problema informa o montante final (R$ 7.000,00) e o valor inicial investido (R$ 2.000,00). Substituindo esses valores na equação:

$M = C(1 + \mathrm{0,025}t)$

$7000=2000(1+\mathrm{0,025}t)$

$7000=2000+50t$

$7000-2000=50t$

$5000=50t$

$t=\frac{5000}{50}=100$

Portanto, nesse tipo de aplicação seriam necessários 100 meses para obter R$ 7.000,00.

A segunda aplicação é em regime de juros compostos, com uma taxa de 2% ao mês; o montante ao final de um período é dado pela expressão $M= C{\left(1 + \mathrm{0,02}\right)}^t$, onde $C$ é o capital inicial investido e $t$é o tempo em que o dinheiro está aplicado. Substituindo os valores informados na expressão:

$M = C{\left(1 + \mathrm{0,02}\right)}^t$

$7000 = 2000{\left(\mathrm{1,02}\right)}^t$

$\frac{7000}{2000}={\mathrm{1,02}}^t$

$\mathrm{3,5}={\mathrm{1,02}}^t$

$\ln \mathrm{3,5}=\ln {\mathrm{1,02}}^t$

$\ln \mathrm{3,5}=t\cdot \ln \mathrm{1,02}$

$t=\frac{\ln \mathrm{3,5}}{\ln \mathrm{1,02}}\approx \mathrm{63,26}$

Como estamos trabalhando com o tempo em meses, seriam necessários aproximadamente 63 meses para obter R$ 7.000,00 nesse tipo de aplicação. Seria mais vantajoso, para você, escolher o segundo tipo de aplicação.

Saiba Mais

Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto, recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Para que você possa resolver exercícios referentes ao conceito de equações, indicamos a leitura da seção 2.1 do capítulo 2 (Equações) do livro Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre inequação, sugerimos a leitura da seção 2.8 do capítulo 2 (Inequações) do livro Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria.
A fim de aperfeiçoar seu entendimento acerca de logaritmos, recomendamos a leitura do capítulo 8 (Logaritmos) do livro Matemática básica para cursos superiores.
 

Referências Bibliográficas

GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/. Acesso em: 17 out. 2023.

HAZZAN, S. Matemática básica: para administração, economia, contabilidade e negócios. São Paulo: Grupo GEN, 2021. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/. Acesso em: 17 out. 2023.

SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática básica para cursos superiores. 2. ed. São Paulo: Grupo GEN, 2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/. Acesso em: 17 out. 2023.

Porcentagem

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Bons estudos!

Ponto de Partida

Olá, estudante!

Esperamos que esteja bem! Para iniciarmos nossos estudos, pense em situações em que temos que usar porcentagem e em situações em que podemos empregar a regra de três.

O conceito de porcentagem é amplamente utilizado na vida cotidiana: finanças pessoais, compras, negócios, estatísticas, ciências e muitos outros campos. Compreender como calcular e interpretar porcentagens é fundamental para tomar decisões informadas em várias situações.

Já a regra de três é uma técnica matemática empregada em situações em que temos três valores conhecidos e desejamos encontrar um quarto valor relacionado. Funciona inclusive para resolver problemas que envolvem porcentagens.

Nesta aula, abordaremos os conceitos de razão e proporção, fundamentais para compreender a regra de três. Além disso, exploraremos o tópico de porcentagem. Para ilustrar como esses conceitos podem ser aplicados, considere a seguinte situação: você está pensando em comprar um novo celular e encontrou duas ofertas:

• Opção A: o celular custa R$ 2.500,00, mas está com desconto de 20%. Sem desconto adicional para pagamento à vista.
• Opção B: o celular custa R$ 2.000,00. Há desconto de 5% somente para pagamento à vista.

Para decidirmos qual é a melhor opção a fim de economizar dinheiro, precisamos entender de razão e proporção, regra de três e porcentagem.

Bons estudos!

Vamos Começar!

Para solucionar nosso problema inicial, é crucial que compreendamos os conceitos de razão, proporção e porcentagem e saibamos como empregar a regra de três na resolução de problemas.

 

Razão e proporção

De modo geral, temos que dados dois números  e  com  diferente de zero, chamamos de razão entre a e b, ou razão de a para b o quociente $a ÷ b$, que também pode ser indicado por $\frac{a}{b}$.

O valor $a$ é denominado dividendo, e $b$ é denominado divisor. Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza, elas devem ser expressas em uma mesma unidade de medida. Podemos ler essa razão como “a está para b” ou “a para b” (Hazzan, 2021).

Vamos supor que um investidor tenha ganhado R$ 5.000,00 após um ano por meio de uma aplicação financeira, na qual o valor investido foi de R$ 15.000,00. Se quisermos saber o quanto esse ganho representa em relação ao valor investido, podemos dividir esse ganho pelo valor investido, obtendo a razão entre o ganho e o valor investido, que será dada por:

$\frac{5000}{15000}=\frac{1}{3}$

Quando estabelecemos uma igualdade entre duas razões, chamamos isso de proporção. Dizemos que os números $a,b,c$e $d$, com $b$ e $d$ diferentes de zero, estão em proporção, na ordem dada, se, e somente se, a razão entre  e for igual à razão entre $c$ e $d$. Representamos essa proporção por:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

em que se lê: "$a$ está para $b$, assim como $c$ está para $d$".

As proporções têm uma importante propriedade:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow a\cdot d=b\cdot c$ 

 

Isso significa que em toda proporção os produtos dos termos cruzados são iguais (Figura 1).

Vamos analisar alguns exemplos que ilustram como podemos aplicar os conceitos de razão e proporção.

Exemplo 1

Uma família tem uma renda líquida de R$ 12.000,00 mensais. Dessa renda, a família consome (gasta) R$ 8.000,00 e poupa o restante. Com base nessas informações, podemos dizer que a razão entre o que a família gasta (consumo) e a renda é dada por:

$\frac{8000}{12000}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Eles poupam R$ 4.000,00, então a razão entre o que é poupado e a renda é dada por:

$\frac{4000}{12000}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

Exemplo 2

Qual é o valor de x na proporção a seguir?

$\frac{x+5}{3}=\frac{1}{6}$

Como se trata de uma proporção, sabemos que os produtos dos termos cruzados são iguais, logo:

$\frac{x+5}{3}=\frac{1}{6}$

$\left(x+5\right)\cdot 6=3\cdot 1$

$6x+30=3$

Perceba que a aplicação da propriedade resulta em uma equação do primeiro grau, logo aplicaremos os métodos de resolução desse tipo de equação.

$6x+30=3$

$6x=3-30$

$6x=-27$

$x=-\frac{27}{6}=-\frac{9}{2}$

Portanto, o valor de x na proporção é $-\frac{9}{2}$.

Quando falamos em razão e proporção, não podemos deixar de nos referir aos conceitos de grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido e possibilita que tenhamos características pautadas em informações numéricas e/ou geométricas. São exemplos de grandezas: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, entre outras.

Suponha que um automóvel percorre em 1 hora 80 km, em 2 horas 160 km e em 3 horas 240 km. Perceba que nessa situação, enquanto o tempo (horas) aumenta, a distância percorrida também aumenta. Então, dizemos que o tempo e a distância são grandezas diretamente proporcionais. Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas, a outra aumenta (ou diminui) na mesma razão da primeira (Hazzan, 2021).

Agora suponha que um automóvel faz um percurso em 1 hora com uma velocidade de 100 km/h e em 2 horas com uma velocidade de 50 km/h. Observe que, enquanto a velocidade diminui, o tempo aumenta. Nesse caso, dizemos que o tempo e a velocidade são grandezas inversamente proporcionais. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira, e vice-versa (Hazzan, 2021).

Siga em Frente...

Regra de três simples

A regra de três simples é um método prático para solucionar problemas que implicam quatro valores, com três deles conhecidos e um desconhecido. Esse procedimento envolve dois tipos de grandezas, exigindo a identificação do tipo de relação entre elas. Portanto, é fundamental determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, uma vez que essa distinção afeta a abordagem dos cálculos.

Para resolver um problema com regra de três simples, o primeiro passo é identificar as grandezas envolvidas. Depois você pode construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. Em seguida, verifique se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, monte a proporção e resolva a equação.

 

Exemplo 1

Um trem demora 2 horas para percorrer 120 km. Qual é a distância percorrida em 4 horas?

O primeiro passo é identificar as grandezas envolvidas no problema, que nesse caso são o tempo e a distância. Representaremos a distância percorrida em 4 horas pela incógnita x. De posse dessas informações, montamos a tabela 1

Tempo	Distância
2h	120 km
4h	x

Tabela 1 | Tempo e distância. Fonte: elaborada pela autora.

Observe que se aumentarmos as horas, consequentemente aumentaremos a distância percorrida, logo essas duas grandezas são diretamente proporcionais. Quando se trata desse tipo de grandeza, basta montar a proporção e resolver a equação resultante. Montando a proporção, temos:

$\frac{2}{4}=\frac{120}{x}$

$2x=120\cdot 4$

$2x=480$

$x=\frac{480}{2}$

$x=240$

Logo, em 4 horas o trem percorre uma distância de 240 km.

 

Exemplo 2

Um carro a 60 km/h percorre em 1 hora uma distância de 80 km. Se a velocidade aumentar para 90 km/h, em quanto tempo será percorrida a mesma distância?

Perceba que as grandezas envolvidas nesse problema são o tempo e a velocidade. Considerando x a incógnita que representa o tempo gasto para percorrer a distância dada quando a velocidade é 90 km/h, teremos a seguinte tabela 2:

Velocidade	Tempo
60 km/h	1 h
90 km/h	x

Tabela 2 | Velocidade e tempo. Fonte: elaborada pela autora.

 

Observe que se aumentarmos a velocidade, gastaremos menos tempo para percorrer a mesma distância, logo essas grandezas são inversamente proporcionais. Para solucionarmos o problema, basta montar as proporções, invertendo uma delas, e resolver a equação. Sem invertermos nenhuma das razões, teríamos:

$\frac{60}{90}=\frac{1}{x}$

Porém, como no caso de grandezas inversamente é preciso inverter uma das razões, teríamos:

$\frac{60}{90}=\frac{x}{1}$

$60=90x$

$x=\frac{60}{90}=\frac{2}{3}\cong \mathrm{0,67}$

Logo, o carro gastaria aproximadamente 0,67h, que corresponde a 40 minutos e 12 segundos, para percorrer 80 km.

Mantenha-se atento ao solucionar um problema de regra de três simples com grandezas inversamente proporcionais. Lembre-se de que é necessário inverter uma das razões.

 

Porcentagem

A porcentagem é um tipo de especial de fração, cujo denominador é 100, isto é, um tipo de fração centesimal. O símbolo  é usado para indicar a porcentagem. Por exemplo:

$30\%=\frac{30}{100}$

É crucial ressaltar que devemos basear o cálculo de porcentagem em uma quantidade específica; em outras palavras, a porcentagem é determinada em relação a uma quantidade particular. Por exemplo, 40% de 200 significam 40 por cento da quantidade de 200. Como descobrir a quanto equivale essa porcentagem? Uma forma seria representar assim:

$40\%=\frac{40}{100}=\frac{4}{10}$

Sabemos que o todo é a quantidade de 200 e que o denominador indica em quantas partes iguais esse todo foi dividido. Assim, temos que 200 foi dividido em 10 partes iguais, cujo tamanho é 20. Sabemos que 40% correspondem a quatro partes desse todo; como cada parte é 20 e temos 4, 40% de 200 é 80. A Figura 2 mostra esse raciocínio de uma forma mais prática.

Outro raciocínio que pode ser utilizado é transformar a porcentagem em número decimal e depois multiplicar o decimal pela quantidade:

$\frac{40}{100} de 200=\mathrm{0,4}\cdot 200=80$

Você também pode utilizar regra de três para encontrar a porcentagem. Considerando que 200 equivale a 100%, teremos a seguinte regra:

200	100%
x	40%

Montando a proporção, temos:

$\frac{200}{x}=\frac{100}{40}$

$100x=8000$

$x=\frac{8000}{100}=80$

Quando abordamos o conceito de porcentagem, é essencial também considerar a ideia de desconto e aumento. É fundamental lembrar que o desconto representa uma redução em relação à quantidade original, enquanto o aumento significa um acréscimo em relação à quantidade original. Ao compreender esses significados e saber como calcular a porcentagem de determinada quantidade, você estará apto a desenvolver uma estratégia eficaz para resolver problemas relacionados a essas situações.

 

Exemplo 1

Uma loja vende uma máquina de lavar roupas por R$ 1.500,00, porém, devido a aumentos impostos pela fábrica, teve que repassar 6% de acréscimo para o consumidor. Quanto a máquina passará a custar?

Segundo o problema, houve um aumento nos preços, logo o valor inicial sofrerá um acréscimo de 6%. Assim, temos que encontrar o valor do aumento:

$6\% de 1500=\frac{6}{100}\cdot 1500=\mathrm{0,06}\cdot 1500=90$

Portanto, o aumento foi de R$ 90,00. Para descobrirmos o novo preço, temos que somar o aumento com o preço inicial; ou seja, R$ 1.500,00 + R$ 90,00, que é igual a R$ 1.590,00.

Alguns problemas que envolvem porcentagem exigem que sejam calculadas uma sucessão de porcentagens sobre determinado valor; para determinar a porcentagem equivalente, devemos multiplicar todas essas porcentagens.

 

Exemplo 2

No início de março, uma loja teve um aumento de 15% nos preços de sua linha de eletrodomésticos em relação a fevereiro, e em abril os preços tiveram uma queda de 10% em relação a março. De quanto foi o aumento dos preços de abril em relação a fevereiro?

Sabe-se que em março houve um acréscimo de 15% em relação ao preço de fevereiro. Portanto, o valor de março equivale ao valor de fevereiro (100%) acrescido de 15%, totalizando 115% do valor de fevereiro. Em abril, por outro lado, houve uma diminuição de 10% em relação ao preço de março, o que implica que os produtos custarão 90% do valor de março. Isso equivale a:

$90\% de 115\%=\frac{90}{100}\cdot \frac{115}{100}=\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{1,15}=\mathrm{1,035}=\mathrm{103,5}\%$

Como os produtos em fevereiro custavam 100% do valor e em abril 103,5%, tivemos um aumento de 3,5%.

É importante notar que não há uma única estratégia para realizar cálculos de porcentagem. Você pode utilizar a abordagem com a qual se sentir mais confiante! 

Vamos Exercitar?

Como você já adquiriu conhecimento acerca de porcentagem, estamos preparados para resolver nossa situação inicial, que consiste em escolher a melhor opção para economizar dinheiro na compra de um celular. Na opção A, o celular custa R$ 2.500,00, mas está com desconto de 20%, sem desconto adicional por pagamento à vista. Como o celular está com 20% de desconto, temos que o preço a ser pago corresponde a 80% do valor inicial. Utilizando a regra de três, temos:

2500	100%
x	80%

$\frac{2500}{x}=\frac{100}{80}$

$100x=208000$

$x=\frac{200000}{100}=2000$

Portanto, o celular na opção A custará R$ 2.000,00, independentemente da forma de pagamento.

Na opção B, não há desconto no pagamento a prazo, então o celular sairá por R$ 2.000,00. Porém, caso o pagamento seja à vista, existe um desconto de 5% sobre o valor. Então, o preço a ser pago corresponde a 95% do valor inicial. Utilizando a regra de três, temos:

2000	100%
x	95%

$\frac{2000}{x}=\frac{100}{95}$

$100x=190000$

$x=\frac{190000}{100}=1900$

Portanto, o celular na opção B custará R$ 2.000,00 se o pagamento a prazo e R$ 1.900,00 se for à vista.

Sua decisão deve levar em consideração a forma de pagamento. Se a opção for pagar a prazo, ambos os celulares terão o mesmo preço, e você deve considerar outros fatores ao fazer sua escolha. No entanto, se você optar por pagar à vista, a escolha recomendada é a opção B, uma vez que o celular custa R$ 100,00 a menos do que na opção A.

Lembre-se de que nesse caso optamos por usar a regra de três para resolver o problema, mas você pode escolher outras estratégias para calcular a porcentagem, dependendo do que for mais conveniente para você.

 

Saiba Mais

Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto, recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Para que você possa resolver exercícios referentes ao conceito de porcentagem, indicamos a leitura do capítulo 5 (Porcentagens) do livro Matemática básica: para administração, economia, contabilidade e negócios. Selecione alguns exercícios das seções 5.1 e 5.4 e os faça. Ao final da seção, você encontra as respectivas respostas.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre regra de três simples, sugerimos a leitura da seção 2.2 (Proporções e a regra de três) do livro Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. Não deixe de selecionar alguns exercícios dessa seção e resolvê-los!
 

Referências Bibliográficas

GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/. Acesso em: 17 out. 2023.

HAZZAN, S. Matemática básica: para administração, economia, contabilidade e negócios. São Paulo: Grupo GEN, 2021. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/. Acesso em: 17 out. 2023.

SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática básica para cursos superiores. 2. ed. São Paulo: Grupo GEN, 2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/. Acesso em: 17 out. 2023.

Função

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Bons estudos!

Ponto de Partida

Olá, estudante!

Esperamos que esteja bem! Vamos iniciar nossos estudos sobre o conceito de função. A ideia de função está presente em uma variedade de situações; podemos percebê-la como um tipo específico de relação entre duas variáveis, independentemente do contexto. Por exemplo, em um posto de combustível, o valor a ser pago pela gasolina está relacionado à quantidade com a qual você pretende abastecer. Nesta aula, estudaremos as características de uma função, bem como as propriedades de funções polinomiais de primeiro grau.

Para demonstrar a aplicação desses conceitos, imagine a seguinte situação: você está buscando um plano de telefone e, após uma extensa pesquisa, encontra-se indeciso entre duas opções. Os valores a serem pagos por mês em cada plano são:

• Plano A: valor fixo de R$ 30,00 mais R$ 0,50 por minuto de ligação.
• Plano B: valor fixo de R$ 10,00 mais R$ 1,00 por minuto de ligação.

Levando em consideração que você terá que realizar várias ligações demoradas nos próximos meses, qual plano seria mais vantajoso? Essa escolha continuaria a mesma se você não tivesse que realizar muitas ligações?

Para resolvermos esse problema, precisamos entender os conceitos de função, função do primeiro grau e suas propriedades.

Bons estudos!

Vamos Começar!

Podemos definir uma função $f$ como sendo uma lei que associa cada elemento $x$ pertencente a um conjunto $D$, a um único elemento $f\left(x\right)$, pertencente a um conjunto $E$(Gomes, 2018). Nesse caso, podemos empregar a representação $f:D\to E$. Observe que, para definirmos uma função, cada elemento de $D$ deve estar associado a somente um elemento de $E$.

O conjunto $D$ é o domínio de $f$, frequentemente representado por $D\left(f\right)$, e nele estão especificados os valores possíveis que a variável independente, geralmente representada como $x$, pode assumir. O conjunto $E$, por sua vez, corresponde ao contradomínio da função, no qual a variável dependente é examinada. Adicionalmente, os valores possíveis de $f\left(x\right)$, obtidos ao variar $x$ por todo o domínio, estão contidos em um subconjunto de $E$denominado imagem de $f$, denotada por $Im\left(f\right)$. Uma função pode ser representada por meio de um diagrama de setas, como na Figura 1.

É fundamental destacar que, normalmente, os conjuntos usados na representação de domínios e contradomínios são conjuntos de números reais (ℝ). Contudo, podemos utilizar subconjuntos de ℝ dependendo do tipo de problema em análise. Em algumas situações, é necessário restringirmos o domínio da função de tal forma que ela possa ser definida.

Por exemplo, considere a função$f$ de uma variável dada por $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$. Essa função está definida para qualquer valor real de $x$? Se $x=0$, qual valor a função assume? Perceba que a função $f$ não é definida para $x=0$, pois em matemática não existe divisão por zero; assim, essa função não assume nenhum valor quando $x=0$. Logo, o domínio dessa função são todos os números reais, com exceção do zero, isto é, $R^{*}$. Para determinar o domínio de uma função, é preciso que você se lembre que:

• Não existe divisão por zero.
• Não existe raiz de índice par de número negativo.
• Não existe logaritmo de número negativo ou zero.

Logo, valores de $x$ que se originam de uma dessas condições, no interior da função estudada, devem ser excluídos do domínio da função. Por exemplo, o domínio da função $f\left(x\right)=\surd (x+2)$ deve ser composto de todos os valores de $x\in R$, tais que $x\ge -2$, visto que o radicando deve ser maior ou igual a zero.

Além do diagrama de setas, é possível representar as funções por meio de gráficos, que possibilitam a análise do comportamento da função e a relação entre as variáveis. Podemos definir o gráfico de uma função $f:D\to E$ como sendo o conjunto de pares ordenados $(x, y)$ em que $y = f \left(x\right)$, com $x$ pertencente ao domínio $D$ da função (Gomes, 2018). Nesse sentido, a elaboração de um gráfico consiste na identificação dos pares ordenados que relacionam os valores do domínio com suas respectivas imagens, no plano cartesiano. Atente-se ao fato de que, ao traçarmos o gráfico de uma função $f$ no plano cartesiano, mostramos os valores de $f \left(x\right)$ no eixo vertical (ou eixo $y$), destinando o eixo horizontal à variável $x$. Cuidado para não trocar os eixos!

Por exemplo, vamos representar a função $f:R\to R$, definida por $f\left(x\right)=x+4$ graficamente. Para esboçarmos o gráfico dessa função, montamos uma tabela com alguns valores de $(x,f(x\left)\right)$. Você tem a flexibilidade de selecionar os valores a serem atribuídos a , desde que esses valores estejam dentro do domínio da função. A quantidade de valores que você escolher atribuir a $x$ também é uma decisão sua, embora seja recomendável escolher pelo menos três (Tabela 1).

$x$	$f\left(x\right)=x+4$	$(x,y)$
$-1$	$f(-1)=-1+4=3$	$(-1,3)$
$0$	$f\left(0\right)=0+4=4$	$(0,4)$
$1$	$f\left(1\right)=1+4=5$	$(1,5)$

Tabela 1 | Valores correspondente à função $f$, com $f\left(x\right)=x+4$. Fonte: elaborada pela autora.

Agora, identificamos esses pontos no plano cartesiano e depois traçamos uma linha que ligue esses pontos, conforme ilustra a Figura 2. Só podemos traçar essa linha, porque a função está definida no conjuntos dos números reais.

No exemplo anterior, $y = f\left(x\right)= x+4$ é o que chamamos de lei de formação (ou regra de associação) da função $f:R \to R$. Em alguns problemas, conhecemos a lei de formação da função, enquanto em outros casos não a conhecemos. Quando não a conhecemos, em certas situações, é possível deduzi-la com base nas informações fornecidas pelo problema. Vejamos um exemplo.

Em uma empresa de componentes eletrônicos, o custo de produção de determinado produto está relacionado a um custo fixo e ao custo unitário desse produto. Sabendo que a empresa tem um custo fixo de R$ 4.000,00 e que o custo de produção unitário para o produto é de R$ 2,00, determine a lei de formação dessa função.

O primeiro passo é identificar as variáveis do problema; lembre-se que elas são parte fundamental da definição de função! Nesse problema, podemos representar a quantidade produzida de produtos por , e o custo total da produção por $C\left(x\right)$. Sabemos que o custo total é a soma do custo fixo com o custo unitário, assim a lei de formação será $C\left(x\right)=4000+2x$. É importante notar que esse problema apresenta restrições no domínio da função, uma vez que não é possível ter uma quantidade negativa de produtos produzidos, e a quantidade de produtos deve ser um número inteiro. Portanto, essa função está definida no conjunto dos números naturais, isto é, $C:N\to R$, cuja lei de formação é $C\left(x\right)=4000+2x$.

A depender das características da lei de formação, podemos classificar as funções como polinomiais, racionais, exponenciais, entre outras. Nosso foco agora serão as funções polinomiais, mais especificamente a função polinomial de primeiro grau.

Siga em Frente...

Função afim

Uma função $f: R\to R$ é chamada de função afim, ou polinomial de 1º grau, quando existem dois números reais $a$ e $b$ tais que $f\left(x\right)=ax+b$ para todo $x\in R$ (Gomes, 2018). A constante real $a$ é referida como o coeficiente angular, enquanto $b$é chamada de coeficiente linear. O gráfico que representa uma função desse tipo é uma reta no plano cartesiano, o que torna esse tipo de função adequado para a representação de fenômenos com características lineares.

Por exemplo, a função $f:R\to R$, com $f\left(x\right)=2x+6$ é afim e tem seu gráfico ilustrado na Figura 3.

Observe que a reta intercepta o eixo $x$ em $x=-3$. Isso significa que em $x=-3$ o valor da função é zero, isto é, $f(-3)=0$. Dizemos então que $x=-3$ é raiz da função dada. Uma raiz ou zero de uma função $f:R\to R$, com $f\left(x\right)=ax+b$ para $a$ e $b$ reais, consiste em um número $r$, para o qual $f\left(r\right)=0$. Nesse sentido, para determinarmos a raiz de uma função afim, devemos buscar a solução da equação $ax+b=0$. No caso do exemplo, temos:

$2x+6=0$

$2x=-6$

$x=-\frac{6}{2}=-3$

Assim como podemos esboçar o gráfico de uma função afim com base em sua lei de formação, também é possível determinar sua lei de formação com base em seu gráfico. Para executar essa tarefa, é necessário determinar $a$ e $b$, de modo que a função $f\left(x\right) = ax + b$ tenha o gráfico desejado. Observe o gráfico representado na Figura 4.

Observe que a reta passa pelos pontos $(0,2)$ e $(3,4)$. Para determinarmos a lei de formação com base nesses pontos, basta substituí-los na lei de formação geral $f\left(x\right)=ax+b$. Substituindo o ponto $(0,2)$, temos:

$f\left(0\right)=a\cdot 0+b=2$

$b=2$

Substituindo o ponto $(3,4)$, temos:

$f\left(3\right)=a\cdot 3+2=4$

$3a+2=4$

$3a=4-2$

$3a=2$

$a=\frac{2}{3}$

Portanto, a lei de formação será $f\left(x\right)=\frac{2}{3} x+2$.

Uma característica interessante de ser observada em uma função afim é se ela é crescente ou decrescente. O estudo do crescimento e do decrescimento de funções afins pode ser realizado com base no coeficiente angular associado.

• Função afim crescente: o coeficiente angular é positivo $(a>0).$
• Função afim decrescente: o coeficiente angular é negativo $(a<0)$.

No conjunto das funções afins, é possível destacar o caso particular da função linear, representada pela lei de formação $f\left(x\right) = ax$, onde $a$ é um número real. O gráfico de uma função linear pode ser identificado como uma reta que passa pela origem, ou seja, contém o par ordenado $(0,0)$.

É altamente recomendável que você se familiarize com todas as características de uma função e, mais especificamente, com as funções afins, pois elas podem ser aplicadas em diversos contextos que demandam o estabelecimento de relações entre variáveis. Além disso, o conceito de função será fundamental em outros momentos desta disciplina e de seu curso, proporcionando uma base sólida para a compreensão de conceitos matemáticos mais avançados.

Vamos Exercitar?

Agora que você está familiarizado com as propriedades das funções afins, estamos prontos para voltar à nossa situação inicial. Nosso problema consiste em você se decidir entre dois planos de telefone, considerando que precisará realizar muitas ligações nos próximos meses.

O primeiro passo é determinar a lei de formação para as funções que descrevem o valor a ser pago em cada um dos planos. Para ambos os planos, vamos considerar que a variável $x$ representa a quantidade de minutos de ligação. Assim, a lei de formação para o plano A será $A\left(x\right)=30+0,5x$ e, para o plano B, será $B\left(x\right)=10+1x$. Para podermos analisar qual é a melhor opção, vamos construir a representação gráfica de ambas as funções (Figura 5).

Perceba que as funções se interceptam em um ponto, o que significa que ambas nesse ponto assumem o mesmo valor. Para encontrar esse valor, basta igualar as duas funções e resolver a equação resultante.

$30+0,5x=10+x$

$30-10=x-0,5x$

$20=0,5x$

$x=\frac{20}{0,5}=40$

Isso quer dizer que se você realizar 40 minutos de ligação, pagará o mesmo valor em ambos os planos, isto é, R$ 50,00.

Ao analisar o gráfico, podemos perceber que, para valores menores que 40, o valor a ser pago no plano B é menor do que no plano A. E para valores maiores que 40, o valor a ser pago no plano A é menor.

Assim, considerando que você precisará realizar várias ligações demoradas, o ideal é o plano A. No caso de não realizar muitas ligações demoradas, o ideal é o plano B.

Saiba Mais

Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto, recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Para que você possa resolver exercícios referentes ao conceito de função, indicamos a leitura da seção 3.5 (Funções) do livro Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre função afim, sugerimos a leitura da seção 8.4.2 (Função do primeiro grau) do livro Matemática básica: para administração, economia, contabilidade e negócios. Não deixe de selecionar alguns exercícios dessa seção e resolvê-los!
Para explorar algumas aplicações das funções do primeiro grau, sugerimos a leitura da seção 8.4.4 (Funções receita, custo e lucro do primeiro grau) do livro Matemática básica: para administração, economia, contabilidade e negócios. Não deixe de selecionar alguns exercícios dessa seção e resolvê-los!

Referências Bibliográficas

GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/. Acesso em: 17 out. 2023.

HAZZAN, S. Matemática básica: para administração, economia, contabilidade e negócios. São Paulo: Grupo GEN, 2021. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/. Acesso em: 17 out. 2023.

SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática básica para cursos superiores. 2. ed. São Paulo: Grupo GEN, 2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/. Acesso em: 17 out. 2023. 

Tópicos elementares de Matemática

Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos importantes para a sua formação profissional. Vamos assisti-la? 
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Bons estudos!

Ponto de Chegada

Olá, estudante!

Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender conceitos matemáticos elementares, bem como reconhecer a importância deles na resolução de problemas de diferentes contextos, você deve primeiramente conhecer quais são esses conceitos.

Um dos conceitos fundamentais da matemática é o dos conjuntos numéricos. Por meio dos conjuntos numéricos, realizamos uma ampla variedade de operações matemáticas. Existem cinco conjuntos numéricos principais: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. É essencial que você saiba discernir as características de cada um.

O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros positivos. Por outro lado, o conjunto dos números inteiros inclui todos os números inteiros, tanto positivos quanto negativos. Já o conjunto dos números racionais é composto de números que podem ser expressos na forma de fração, enquanto o conjunto dos números irracionais é formado por números que não podem ser representados como frações simples. Por fim, o conjunto dos números reais é a união dos conjuntos de números racionais e irracionais. Esses conjuntos numéricos desempenham um papel crucial em várias áreas da matemática e são fundamentais para compreender a extensão dos números que usamos em cálculos e análises matemáticas.

Observe que o conjunto dos números racionais reúne todos os números que conseguimos expressar em forma de fração. Uma fração pode ser conceituada como uma maneira de representar porções de um todo que foram divididas em partes iguais. Representamos uma fração na forma $\frac{a}{b^1}$ em que $a$ é chamado de numerador e $b$ de denominador. Um ponto essencial a ser observado é o procedimento para operar com frações. Na adição e na subtração, quando os denominadores são distintos, é fundamental encontrar frações equivalentes às existentes antes de executar a soma ou a subtração. Na divisão, você deve conservar a primeira fração e depois multiplicá-la pelo inverso da segunda.

Associadas aos conjuntos numéricos temos as operações de potenciação e radiciação. Lembre-se que em uma potência do tipo $a^b$ o expoente $b$ indica quantas vezes que a base  será multiplicada por ela mesma.

Essas operações com conjuntos numéricos são fundamentais para a compreensão de outros conceitos elementares, como equações, logaritmos, porcentagens e funções.

Ao resolvermos equações, seguimos o princípio da transposição, o que significa que podemos adicionar o mesmo valor a ambos os lados da equação ou subtraí-lo. Além disso, aplicamos o princípio da multiplicação ou divisão, o que nos permite multiplicar ou dividir ambos os lados da equação por um número diferente de zero. Esses princípios são a base para resolver equações.

A expressão “passar para o outro lado” é frequentemente usada ao resolver equações, mas é importante ter maior precisão ao descrever os cálculos, especialmente quando se lida com termos envolvidos em multiplicação ou divisão. Em vez de dizer que estamos “passando o termo para o outro lado com o sinal trocado”, é mais correto dizer que estamos “movendo o termo para o outro lado aplicando a operação inversa”. Essa clareza conceitual ajuda a evitar equívocos ao resolver equações e a compreender a matemática de forma mais precisa.

Ao resolver um problema de regra de três, é fundamental estar ciente de que as grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Quando as grandezas são inversamente proporcionais, é necessário inverter uma das razões para encontrar a resposta correta. Essa inversão é uma parte fundamental do processo de resolução de problemas de regra de três, garantindo que a relação entre as grandezas seja adequadamente considerada.

É importante lembrar que, ao resolver problemas que envolvem porcentagem, você tem à disposição diversas estratégias. Esteja atento às propriedades e relações envolvidas nesse cálculo, pois a escolha da estratégia certa pode simplificar o processo e garantir resultados precisos. Conhecer as propriedades e regras das porcentagens é fundamental para lidar eficazmente com esses tipos de problemas.

Compreender que uma função é uma relação entre dois conjuntos e segue certas características é a base para lidar com problemas mais complexos. Lembre-se de que uma função afim é da forma $f\left(x\right) = ax + b$ e, geralmente, seu domínio e contradomínio são definidos no conjunto dos números reais. No entanto, em situações específicas, podemos restringir esse domínio. Para determinar a imagem de uma função, basta substituir valores da variável $x$ na lei de formação. Além disso, convém lembrar que o zero de uma função é o valor de $x$ para o qual a função é igual a zero. Graficamente, você pode identificar o zero da função como o ponto em que a reta intercepta o eixo $x$. Esses conceitos são fundamentais para entender e resolver problemas que envolvem funções e gráficos.

Os conceitos matemáticos que estudamos, incluindo funções, equações, porcentagem e muitos outros, servem de base para nossa formação e são aplicáveis a uma ampla variedade de problemas em nosso cotidiano e em situações matemáticas mais complexas. Ter uma compreensão sólida desses conceitos não apenas ajuda a resolver problemas do dia a dia, mas também é essencial para o desenvolvimento de habilidades analíticas e tomada de decisões.

É Hora de Praticar!

A matemática desempenha um papel fundamental na tomada de decisões em uma ampla variedade de contextos. Vamos examinar uma situação para demonstrar como os conceitos matemáticos vistos nesta unidade podem ser aplicados.

Uma empresa foi contratada por uma comissão de formatura para organizar a festa de formatura de uma das turmas da Universidade. Uma das atribuições dessa empresa é contratar uma banda ou um DJ para animar a festa. Após diversas pesquisas, obteve os seguintes orçamentos:

• Um DJ cobra uma taxa fixa de R$ 3.000,00 acrescidos de 10% do valor da taxa fixa por hora (ou fração de hora) de trabalho.
• Uma banda cobra uma taxa fixa de R$ 1.000,00 acrescidos de 40% do valor da taxa fixa por hora (ou fração de hora) de trabalho.

Analisando os orçamentos apresentados, responda:

a) Se a turma deseja que a festa tenha a duração de 10 horas, considerando apenas o critério financeiro, qual é a melhor opção?

b) Com base nos orçamentos e somente no critério financeiro, qual deve ser a duração da festa para que seja mais vantajoso contratar o DJ, em vez da banda.

Reflita

Considerando a ampla variedade de situações em que os conceitos abordados na unidade podem ser aplicados, convidamos à reflexão sobre estas três questões:

• Em que tipos de situações de sua área de atuação você pode aplicar o conceito de função?
• Em que tipo de situações cotidianas você pode utilizar o conceito de porcentagem e de frações na resolução de problemas?
• Quando você vai ao supermercado e fica na dúvida entre dois produtos da mesma marca, porém com quantidades diferentes, costuma usar análises matemáticas para determinar qual deles oferece a melhor relação custo-benefício? Como você faz essa análise?

Resolução do estudo de caso

Para resolvermos o problema, o primeiro passo é determinar as leis de formação para o valor a ser pago em cada caso.

Função para o valor a ser pago para o DJ

Antes de determinarmos a lei de formação, precisamos calcular quanto é 10% do valor da taxa fixa, visto que o valor a ser pago depende disso.

$10\% de 3000=\frac{10}{100}\cdot 3000=0,1\cdot 3000=300$

Assim, além da taxa fixa são cobrados R$ 300,00 por hora de trabalho. Considerando o valor a ser pago denominado por $C\left(x\right)$, em que $x$ é o tempo medido em horas, temos que:

$C\left(x\right)=3000+300x$

Função para o valor a ser pago para a banda

Primeiramente, vamos determinar quanto é 40% do valor da taxa fixa.

$40\% de 1000=\frac{40}{100}\cdot 1000=0,4\cdot 1000=400$

Considerando o valor a ser pago denominado por $V\left(x\right)$, em que $x$ é o tempo medido em horas, temos que:

$V\left(x\right)=1000+400x$

Com base nessas funções, podemos analisar o que se pede em cada item.

a) Nesse item devemos escolher a melhor opção caso a festa tenha a duração de 10 horas. Para isso, temos que calcular o valor pago nas duas opções para uma quantidade de 10 horas:

$C\left(10\right)=3000+300\cdot \left(10\right)=3000+3000=6000$

$V\left(10\right)=1000+400\cdot \left(10\right)=1000+4000=5000$

Assim, considerando apenas o fator financeiro, a melhor opção para 10 horas de música é contratar a banda.

b) Agora é necessário analisarmos as duas funções de modo a identificar em que momentos uma função é maior que a outra e em que ponto elas são iguais. Assim teremos:

$C\left(x\right)=V\left(x\right)$

$3000+300x=1000+400x$

$400x-300x=3000-1000$

$100x=2000$

$x=\frac{2000}{100}=20$

Isso quer dizer que para $x=20$ temos o mesmo valor a ser pago nas duas opções. Para verificarmos em que intervalos as funções são maiores, temos:

$-100x<-2000$

$100x>2000$

$x>20$

Logo, para $x>20$ o valor a ser cobrado na contratação do DJ é menor do que o valor na contratação da banda. Assim, para $x<20$ o valor a ser cobrado na contratação da banda é menor. A Figura 1 ilustra esses intervalos.

Dê o play!

Assimile

As propriedades apresentadas na Figura 2 serão fundamentais para resolver uma variedade de problemas ao longo de seu curso. Portanto, é crucial que você as mantenha em mente e esteja preparado para aplicá-las quando necessário. Elas servirão como ferramentas valiosas para a resolução de desafios matemáticos.

Referências

GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/. Acesso em: 17 out. 2023.

HAZZAN, S. Matemática básica: para administração, economia, contabilidade e negócios. São Paulo: Grupo GEN, 2021. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/. Acesso em: 17 out. 2023.

SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática básica para cursos superiores. 2. ed. São Paulo: Grupo GEN, 2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/. Acesso em: 17 out. 2023.