Aplicações das Derivadas

Taxas relacionadas

Olá, estudante!

Nesta videoaula você irá conhecer o conceito de taxa relacionada e algumas aplicações possíveis para esse conceito.

Esse conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois complementa o estudo das derivadas por meio de um tipo de aplicação que pode ser estendida a diferentes áreas do conhecimento, mas desde que envolva uma função que relaciona as variáveis correspondentes e englobe o estudo de taxas de variação.

Prepare-se para essa jornada de conhecimento!

Ponto de Partida

Daremos início ao estudo de algumas aplicações importantes do conceito de derivadas por meio das taxas relacionadas.

A esse conceito estão associados os estudos relacionados às regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, além da construção de modelos envolvendo conhecimentos diversos da Matemática, como tópicos de Geometria, por exemplo, ou mesmo conceitos de outras áreas do conhecimento, visto sua aplicabilidade. As taxas relacionadas podem ser empregadas no estudo de taxas de variação de funções, principalmente quando elas provêm de modelos matemáticos associados a fenômenos diversos.

Dessa forma, para complementar os estudos acerca desse tema, analise o problema descrito a seguir. Um tanque tem o formato de um cone circular reto invertido com 8 m de altura e o diâmetro no topo corresponde a 6 metros. Está escoando água desse tanque a uma taxa de 10 000 cm³/min, a partir de um orifício localizado em sua parte inferior e conectado a uma torneira. Além disso, ao mesmo tempo, a água está sendo bombeada para dentro desse tanque a uma taxa constante. Para que o nível da água suba a uma taxa de 20 cm/min quando a altura da água for 2 m, qual deve ser a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro desse tanque?

Como podemos solucionar esse problema? Prossiga em seus estudos para reconhecer os conceitos necessários para sua solução! 

Vamos Começar!

Quando calculamos a derivada de uma função $y=f\left(x\right)$, podemos relacioná-la com a taxa de variação de $y$ em relação a $x$, o que pode ser denotado por $\frac{dy}{dx}$. Com base nesse tipo de relação, podemos analisar como se dá o comportamento entre duas variáveis empregando o conceito de taxa relacionada, o qual busca evidenciar de que forma a taxa de variação de certa variável influencia nas variações de outra, as quais estão relacionadas entre si a partir de alguma equação ou de alguma situação específica.

Taxas relacionadas

Quando tomamos um quadrado com lado de medida  unidades e consideramos que essa medida está variando, por exemplo, de forma crescente, isto é, estamos aumentando gradativamente o valor de $a$, note que essa modificação influencia também na área dessa figura, a qual varia à medida que o valor de a sofre variações. Assim, podemos relacionar a taxa de variação da área do quadrado com a taxa de variação da medida de seus lados.

O exemplo anterior foi construído com base em um contexto matemático, porém essa relação entre taxas de variação também pode ser aplicada em outras ciências, desde que seja possível identificar variáveis associadas entre si e funções diferenciáveis que as relacionem. Observe, a seguir, um exemplo de aplicação das taxas relacionadas no contexto da Física.

Suponha que um indivíduo esteja enchendo uma bola de futebol, que pode ser aproximada por uma esfera. O ar está sendo bombeado para o interior dessa bola a uma taxa de 100 cm³/s. Quão rápido o raio dessa bola está aumentando quando o seu diâmetro for 8 cm?

Para resolver esse problema, vamos considerar a informação de que a taxa de crescimento do ar é de 100 cm³/s. Além disso, temos a informação que a incógnita desse problema consiste na taxa de crescimento do raio quando o diâmetro é de 8 cm, ou quando seu raio é 4 cm.

Adotando $V$ para representar o volume da bola e $r$ para o seu raio, sabemos que, como a bola pode ser descrita por uma esfera de raio $r$, então seu volume será dado por:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

Note que o volume e o raio variam em função do tempo, dado em segundos, assim, a taxa de crescimento do volume em relação ao tempo consiste em $\frac{dV}{dt}$, enquanto a taxa de crescimento do raio no tempo é $\frac{dr}{dt}$.

Associando essas informações aos dados iniciais, temos $\frac{dV}{dt}=100 {cm}^3/s$, enquanto a incógnita do problema é $\frac{dr}{dt}$, quando $r=4 cm$.

Por meio da expressão do volume, a qual corresponde a uma função composta, calculando a derivada e aplicando a regra da cadeia teremos:

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}=\frac{d}{dr}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)\cdot \frac{dr}{dt}=\frac{4}{3}\pi \left(3r^2\right)\cdot \frac{dr}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$

isto é, $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$. Isolando a incógnita e substituindo as informações conhecidas segue que:

$\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt}=\frac{1}{4\pi r^2}\cdot \frac{dV}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt}\left(4\right)=\frac{1}{4\pi \left(4^2\right)}\cdot 100 \Rightarrow \frac{dr}{dt}\left(4\right)=\frac{25}{16\pi }$

Sendo assim, a taxa de crescimento do raio em relação ao tempo quando $r=4 \mathrm{cm}$ é dada por $\frac{25}{16\pi }$ cm/s ou, aproximadamente, 0,497 cm/s.

O problema descrito no exemplo anterior é chamado problema de taxas relacionadas, pois o objetivo era determinar uma taxa de variação desconhecida, relacionando-a com outras variáveis e taxas de variação. Para resolver esse tipo de problema, é importante empregar uma estratégia correta. A seguir confira algumas sugestões sobre como podemos resolver problemas como esse:

• Ler cuidadosamente o enunciado do problema.
• Identificar notações para todas as variáveis relevantes presentes no problema.
• Identificar as taxas de variações conhecidas e a taxa de variação que corresponde à incógnita do problema, representando-as na forma de derivadas.
• Encontrar equações que relacionem as variáveis cujas taxas de variações foram identificadas e, quando possível, esboçar figuras que ilustrem essas relações e equações.
• Calcular as derivadas de modo a obter uma relação entre as taxas de variações conhecidas e a incógnita, empregando a regra da cadeia e demais regras de derivação.
• Substituir os valores conhecidos das taxas de variação e das variáveis.
• Resolver a equação para a taxa de variação desconhecida.

Siga em Frente...

É importante sempre construir um planejamento para a resolução dos problemas envolvendo taxas relacionadas, procurando trabalhar inicialmente com a representação das variáveis por letras, conforme os objetivos dos problemas, e aplicar as substituições por valores numéricos apenas nas etapas finais, após os cálculos de derivadas, para evitar que sejam obtidos resultados incorretos ao longo desse processo.

Vejamos outro exemplo envolvendo taxas relacionadas. Suponha que uma escada de 1,3 m está apoiada em uma parede. Sabendo que seu topo desliza sobre a parede para baixo a uma taxa de 0,2 m/s, com que rapidez a base da escada estará́ se afastando da parede quando o topo estiver 0,5 m acima do chão?

Para interpretar esse problema, podemos, inicialmente, construir um esboço, conforme a Figura 1, a partir do qual podemos identificar algumas das informações apresentadas.

Denotemos por $x$ a distância da base da escada à parede e por $y$ a distância do topo da escada ao chão. Nesse caso, segundo o  teorema de Pitágoras, temos:

$x^2+y^2={\left(\mathrm{1,3}\right)}^2=\mathrm{1,69}$

Sabemos que o topo da escada desliza sobre a parede para baixo a uma taxa de 0,2 m/s, então $\frac{dy}{dt}=-\mathrm{0,2}$, visto que a escada desliza para baixo. Queremos determinar $\frac{dx}{dt}$ para o qual $y=\mathrm{0,5},$. Derivando cada lado da igualdade envolvendo $x$ e $y$ com relação a $t$ obtemos:

$2x \frac{dx}{dt}+2y \frac{dy}{dt}=0 \Rightarrow \frac{dx}{dt}=-\frac{y}{x}\cdot \frac{dy}{dt}$

Do teorema de Pitágoras, se $y=\mathrm{0,5}$ então $x=\mathrm{1,2}$, e sendo $\frac{dy}{dt}=-\mathrm{0,2}$, então:

$\frac{dx}{dt}=-\frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{1,2}}\cdot \left(-\mathrm{0,2}\right)\approx \mathrm{0,083}$

Portanto, a base da escada estará́ se afastando da parede a uma taxa de 0,083 m/s.

Considere agora que a calha instalada em um salão comercial tenha 20 m de comprimento e que suas extremidades formem um triângulo isósceles de 5 m de base por 2 m de altura. Ao preencher essa calha com água segundo uma taxa de 8 m³ por minuto, com que rapidez o nível da água sobe quando a calha estiver com 1 m de água?

A estrutura da extremidade da calha pode ser observada na Figura 2. Sabemos que o formato é o de um triângulo isósceles, com 5 m de base e 2 m de altura. Considere que a quantidade de água coletada nessa calha ocupe um espaço com $b$ m de comprimento e $h$ metros de altura.

 

Nas condições apresentadas, o volume de água nessa calha pode ser calculado pela área ocupada pela água com relação à extremidade ilustrada na Figura 2 multiplicado por 20 m, que é o comprimento da calha. Sendo assim, o volume será dado por:

$V=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h\cdot 20=10bh$

À medida que a quantidade de água aumenta, o nível da água sobe e, consequentemente, a base e a altura do triângulo referente à água também aumentam, como destacado na Figura 2.

Pela semelhança de triângulos, com base na Figura 2, podemos concluir que:

$\frac{5}{2}=\frac{b}{h} \Rightarrow b=\frac{5}{2}h$

Substituindo essa expressão no volume teremos:

$V=10\left(\frac{5}{2}h\right)h=25h^2$

Calculando a derivada a partir da última expressão segue que:

$\frac{dV}{dt}=50h \frac{dh}{dt}$

Sabemos que $\frac{dV}{dt}=8 m^3/h$ e considerando $h=1$ obtemos:

$8=50\left(1\right)\frac{dh}{dt} \Rightarrow \frac{dh}{dt}=\frac{8}{50} \Rightarrow \frac{dh}{dt}=\frac{4}{25}$

Dessa forma, quando a água estiver com 1 m de profundidade, o nível da água na calha aumentará a uma velocidade de $\frac{4}{25} \mathrm{m}/\min$.

Vejamos outro problema empregando taxas relacionadas.

Considere que um farol está localizado em uma ilha a 5 km do ponto $P$ mais próximo em uma margem costeira reta e a sua luz realiza 6 rotações por minuto. Com que rapidez o feixe de luz se move ao longo da costa quando estiver a 2 km de $P$?

Para a construção do modelo referente a esse problema, vamos nos basear em triângulos retângulos e razões trigonométricas. Na Figura 3, temos a ilustração do problema, em que $F$ representa o farol, $P$ o ponto indicado no enunciado e o lado que une $P$ a $Q$ a margem costeira onde a luz brilha, com a medida $x$ representando a distância entre o ponto $P$ e a margem costeira onde a luz brilha.

Figura 3 | Problema do farol.

Pela razão trigonométrica tangente segue que:

$\mathrm{tg} \theta =\frac{x}{5} \Rightarrow x=5\mathrm{tg} \theta$

Calculando a derivada em ambos os membros da igualdade temos:

$\frac{dx}{dt}=5{\sec }^2 \theta \cdot \frac{d\theta }{dt}$

Queremos avaliar $\frac{dx}{dt}$ para $x=2$. Nesse caso, $\mathrm{tg} \theta =\frac{2}{5}$ e pela identidade trigonométrica envolvendo secante e tangente podemos concluir que:

${\sec }^2 \theta =1+{\left(\frac{2}{5}\right)}^2=\frac{29}{25}$

Pelos dados do enunciado, a luz realiza 6 rotações por minuto, então $\frac{d\theta }{dt}=6$ rotações por minuto. Como $2\pi$ radianos estão em uma rotação, segue que $\frac{d\theta }{dt}=6\left(2\pi \right)=12\pi$ radianos por minuto. Desse modo,

$\frac{dx}{dt}=5\left(\frac{29}{25}\right)\cdot \left(12\pi \right)=\frac{248\pi }{5}\approx \mathrm{218,7} \mathrm{km}/\min$

Portanto, a velocidade com que a luz se move é de aproximadamente 218,7 km por minuto.

Assim, no estudo de problemas sobre taxas relacionadas é imprescindível a identificação das variáveis e das taxas conhecidas, bem como de uma expressão que relacione as variáveis do problema entre si e que permita um estudo a respeito das derivadas correspondentes, empregando a substituição dos valores numéricos conhecidos apenas nas etapas finais. 

Vamos Exercitar?

Para a resolução do problema, considere as seguintes informações:

• O tanque tem o formato de um cone circular reto invertido com 8 m de altura, ou 800 cm, e 3 m, ou 300 cm, de raio da base localizada na parte superior.
• O vazamento de água do tanque ocorre a uma taxa de .
• Água está sendo bombeada para o interior do tanque a uma taxa constante.
• A taxa de variação do nível, ou altura, da água no tanque é de 20 cm/min.
• A incógnita corresponde à taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro desse tanque quando a altura é de 2 m, ou 200 cm.

Como a água assume o formato do recipiente no qual ela é armazenada, podemos representar as variáveis: $V$ como o volume da água no tanque, $h$ a altura ou nível da água no tanque, $r$ o raio da base da água no tanque e $T$ a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro do tanque. Observe, na Figura 4, um esboço para o tanque.

Se a água assume o formato dentro do reservatório, de um cone circular reto de altura $h$ e raio $r$, o volume pode ser dado por $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$. Por semelhança entre os triângulos que podem ser identificados, podemos observar que:

$\frac{300}{r}=\frac{800}{h} \Rightarrow r=\frac{3h}{8}$

Substituindo essa relação na expressão do volume do cone obtemos:

$V=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{3h}{8}\right)}^{2}h=\frac{1}{3}\pi \left(\frac{9h^2}{64}\right)h=\frac{3}{64}\pi h^3$

Calculando a derivada de $V$ em relação ao tempo e aplicando a regra da cadeia, temos:

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\cdot \frac{dh}{dt}=\frac{3}{64}\pi \left(3h^2\right)\cdot \frac{dh}{dt}=\frac{9}{64}\pi h^2\cdot \frac{dh}{dt}$

Temos que $\frac{dh}{dt}=20$ cm/min e precisamos da taxa de variação para $h=2 \mathrm{m}=200 \mathrm{cm}$:

$\frac{dV}{dt}=\frac{9}{64}\pi {\left(200\right)}^2\cdot \left(20\right)=112 500\pi \mathrm{cm}³/\min$

Como a taxa de variação do volume consiste na diferença entre a taxa de água que está sendo bombeada para dentro do tanque e o volume que escapa pela torneira, então:

$112 500\pi =T-10 000\Rightarrow T=112 500\pi +10 000\approx 363 \mathrm{429,2}$

Portanto, a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro do tanque é de, aproximadamente, 363 429,2 cm³/min. 

Saiba Mais

Uma primeira sugestão de material complementar para o estudo das taxas relacionadas é a obra Cálculo, volume 1, de Howard, Bivens e Davis. Na seção 3.4, “Taxas relacionadas”, no trecho entre as páginas 204 e 208, você encontrará vários exemplos de aplicação das derivadas no estudo de problemas de diversas áreas, no contexto das taxas relacionadas.

Outra referência é o livro Cálculo, volume 1, de Stewart, Clegg e Watson. Na seção 3.9, “Taxas relacionadas”, da página 226 até a 229, você também encontrará outros exemplos interessantes de aplicação das taxas relacionadas na resolução de problemas, possibilitando a ampliação da gama de ferramentas e estratégias para o trabalho com esse conceito.

A terceira sugestão é o livro Cálculo: ilustrado, prático e descomplicado, de Ávila e Araújo. Na seção 5.6, “Taxas de variação”, entre as páginas 162 e 165, você poderá estudar outros exemplos de taxas relacionadas, bem como alguns modelos relacionados à economia e que também podem contribuir no estudo e solução de problemas envolvendo funções e suas derivadas.

Referências Bibliográficas

ANTON, Howard; BIVENS, Irl C.; DAVIS, Stephen L.; et al. Cálculo. v.1. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. E-book. ISBN 9788582602263. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 29 abr. 2024.

ÁVILA, G. S. de S.; ARAÚJO, L. C. L. de. Cálculo: ilustrado, prático e descomplicado. Rio de Janeiro: LTC, 2012.

ÁVILA, Geraldo Severo de S.; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de. Cálculo: ilustrado, prático e descomplicado. Rio de Janeiro: LTC, 2012. E-book. ISBN 978-85-216-2128-7. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2128-7/. Acesso em: 29 abr. 2024.

ROGAWSKI, J.; ADAMS, C.; DOERING, C. I. Cálculo. v. 1. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018.

SALAS, S. L.; HILLE, E.; ETGEN, G. J. Cálculo. v. 1. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.

STEWART, James; CLEGG, Daniel; WATSON, Saleem. Cálculo. v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book. ISBN 9786555584097. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 29 abr. 2024.

Pontos críticos, máximos e mínimos de funções

Olá, estudante!

Nesta videoaula você irá estudar tópicos de otimização, especialmente em relação aos valores máximos e mínimos de uma função.

Esse conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois a resolução de problemas de otimização perpassa as mais variadas áreas de conhecimento, de modo que podemos ampliar a gama de problemas a serem resolvidos com base no conceito de derivada e nas propriedades das funções.

Prepare-se para essa jornada de conhecimento!

Ponto de Partida

Nesta aula iniciaremos os estudos acerca dos problemas de otimização, tendo como princípio o estudo dos valores máximos e mínimos de função e os teoremas de Rolle e do valor médio.

Os valores máximos e mínimos de funções desempenham um papel essencial no estudo de diversos problemas, especialmente os de otimização. Ao encontrar esses pontos, chamados de críticos, seja através de técnicas analíticas como derivadas ou mesmo de métodos computacionais, podemos entender melhor o comportamento de uma função em determinado intervalo. Um valor máximo representa o ponto mais alto que a função atinge em sua curva, enquanto um mínimo é o ponto mais baixo. Esses extremos são essenciais em áreas como economia, engenharia e física, em que, muitas vezes, buscamos maximizar lucros, minimizar custos ou otimizar eficiência, garantindo, assim, ótimas soluções para uma ampla gama de problemas. Nesse contexto, estudaremos os conceitos destacados do ponto de vista das derivadas de funções.

Para contribuir com o estudo dessa temática, faça uma análise das funções a seguir, reconhecendo os valores máximos e mínimos, caso existam:

• $f\left(x\right)=x^{2/3}$ definida no intervalo $\left[-\mathrm{2,3}\right]$.
• $g\left(x\right)=10x(2-\ln x)$ definida no intervalo $\left[1, e^2\right]$.

Prossiga em seus estudos com o intuito de reconhecer os conceitos necessários para solucionar a problemática apresentada. 

Vamos Começar!

Além das taxas relacionadas, as derivadas de funções reais também podem ser aplicadas em problemas que exigem a maximização ou a minimização de fenômenos, sendo essencial, para essas situações, a caracterização de pontos de máximo e de mínimo para funções.

Máximos e mínimos de funções reais

Considere uma função real $f$ e um ponto $c$ em seu domínio. Dizemos que $f\left(c\right)$ é um valor máximo local da função $f$ se $f\left(c\right)\ge f\left(x\right)$ para valores $x$ suficientemente próximos de $c$. Por outro lado, $f\left(c\right)$ é um valor mínimo local de $f$ quando $f\left(c\right)\le f\left(x\right)$ para valores de $x$ suficientemente próximos de $c$.

Desse modo, os pontos de máximo local e mínimo local são identificados quando eles assumem, respectivamente, o maior e o menor valor da função em intervalos abertos em torno desses pontos.

Se $c$ é tal que $f\left(c\right)\ge f\left(x\right)$ para todos os pontos $x$ do domínio da função $f$, então podemos afirmar que $f\left(c\right)$ é um valor máximo global (ou máximo absoluto) de $f$. E se o ponto $c$ é tal que $f\left(c\right)\le f\left(x\right)$ para todo $x$ no domínio de $f$, então $f\left(c\right)$ corresponde ao valor mínimo global (ou mínimo absoluto) de $f$. Em ambos os casos, $f\left(c\right)$ consiste em um valor extremo da função $f$.

Considere a função $f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$ definida por $f\left(x\right)=x^2$. Note que $x^2\ge 0$ para todo $x$ real. Dessa forma, $x=0$ está associado a um valor mínimo de $f$, sendo ainda um valor mínimo global porque corresponde ao ponto no qual a função $f$ assume o menor valor possível em seu domínio. Na Figura 1(a) temos a representação gráfica de $f$, o que permite visualizar esse comportamento de $f$.

(a)   $f\left(x\right)=x^2$

(b)   $g\left(x\right)=x^3-3x+2$

Figura 1 | Gráficos das funções polinomiais.

Observe agora o comportamento da função $g:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$, definida por $g\left(x\right)=x^3-3x+2$, cujo gráfico é ilustrado na Figura 1(b). Note que a função tem um valor máximo local associado ao ponto $x=-1$, pois corresponde ao maior valor da função $f$ em pontos suficientemente próximos dele. Por outro lado, a $x=1$ corresponde a um valor mínimo local de $f$, por ser o menor valor de $f$ em torno desse ponto. No entanto, perceba que esses pontos não são vinculados a valores extremos globais, porque a função $f$ tende a valores menores do que em $x=1$, quando $x$ tende a $-\infty$ e $f$ tende a valores maiores do que em $x=-1$, quando $x$ tende a $+\infty$.

Para identificar quais funções assumem valores máximos ou mínimos absolutos, podemos empregar o resultado apresentado a seguir, referente às funções contínuas.

Teorema do valor extremo: Se $f$ for contínua em um intervalo fechado $\left[a,b\right]$, então $f$ assume um valor máximo absoluto $f\left(c\right)$ e um valor mínimo absoluto em $f\left(d\right)$, para valores $c$ e $d$ pertencentes ao intervalo $\left[a,b\right]$.

Por exemplo, se definirmos a função $f:\left[\mathrm{0,1}\right]\to \mathrm{ℝ}$ em que $f\left(x\right)=x^4-3x^2+1$, segundo o teorema do valor extremo, $f$ admite valor máximo e mínimo absolutos nesse intervalo, por ser uma função contínua definida em um intervalo fechado do tipo $\left[a,b\right]$. Porém, como podemos identificar em quais pontos a função pode assumir valores máximos ou mínimos? Para isso, podemos analisar o comportamento da derivada da função $f$, a qual é diferenciável no intervalo $\left(a,b\right)$, e mais especificamente em relação às suas raízes.

Um número ou ponto crítico de uma função $f$ é um número $c$ pertencente ao domínio de $f$ para o qual $f^{\text{'}}\left(c\right)=0$ ou $f^{\text{'}}\left(c\right)$ não existe.

Retomemos o caso da função $f\left(x\right)=x^2$, indicada na Figura 1(a). Note que $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x$, assim, $f^{\text{'}}\left(0\right)=0$, então $x=0$ é um ponto crítico de $f$. Ainda, $f\left(0\right)$ corresponde a um valor mínimo de $f$. Por outro lado, seja a função $g\left(x\right)=x^3-3x+2$ da Figura 1(b). A função admite valor mínimo local em $x=1$ e máximo local em $x=-1$. Calculando a derivada de $g$ obtemos $g^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-3$ e, assim, $g^{\text{'}}\left(1\right)=3{\left(1\right)}^2-3=0$ e $g^{\text{'}}\left(-1\right)=3{\left(-1\right)}^2-3=0$. Assim, $x=1$ e $x=-1$ são ambos pontos críticos de $g$. Logo, uma função pode admitir mais de um ponto crítico em seu domínio.

Dessa forma, se $f$ tiver um máximo ou um mínimo local em $f\left(c\right)$ então $c$ é um ponto crítico de $f$. Logo, podemos estudar os pontos críticos de uma função de tal forma a identificar os valores máximos e mínimos e, se possível, determinar quais desses pontos correspondem aos valores máximo e mínimo globais da função.

Observe o procedimento para identificação de máximos e mínimos de funções. Seja a função $f:\left[-\mathrm{5,0}\right]\to \mathrm{ℝ}$ definida por $f\left(x\right)=x^3+6x^2+9x+4$. Vamos iniciar com o estudo dos pontos críticos, determinando a derivada e igualando-a a zero:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+12x+9$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0 \Rightarrow 3x^2+12x+9=0 \Rightarrow x^2+4x+3=0$

Resolvendo a equação quadrática obtida, teremos as soluções $x=-3$ e $x=-1$, que correspondem aos pontos críticos da função $f$. Calculando as imagens desses pontos pela $f$ obtemos:

$f\left(-3\right)={\left(-3\right)}^3+6{\left(-3\right)}^2+9\left(-3\right)+4=4$

$f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3+6{\left(-1\right)}^2+9\left(-1\right)+4=0$

Assim, $x=-3$ está associado a um valor máximo local, e $x=-1$ está ligado a um valor mínimo local.

Quando estamos diante de uma função cujo domínio é um intervalo fechado, podemos comparar os pontos críticos com os extremos visando reconhecer os máximos e mínimos globais. No caso do exemplo anterior, vejamos o que ocorre com a função em $x=-5$ e $x=0$:

$f\left(-5\right)={\left(-5\right)}^3+6{\left(-5\right)}^2+9\left(-5\right)+4=-16$

$f\left(0\right)=o^3+6\cdot 0^2+9\cdot 0+4=4$

Veja que $f\left(-5\right)<f(-1)$, então $x=-5$ está associado a um valor mínimo global da função $f$. Por outro lado, em $x=-3$ e $x=0$ temos valores máximos globais porque a função assume a mesma imagem em ambos os pontos.

Observe que, ao investigar os valores máximos e mínimos globais de uma função cujo domínio seja descrito por um intervalo fechado do tipo $\left[a,b\right],$ é necessário avaliar o comportamento da função também nos extremos desse intervalo, visto que eles também podem corresponder a pontos de máximo ou mínimo da função.

Em suma, para determinar os valores máximos ou mínimos globais de uma função definida em um intervalo fechado da forma $\left[a,b\right]$ devemos, inicialmente, determinar os pontos críticos de $f$ em $\left(a,b\right)$ e comparar os valores de $f$ nos pontos críticos e nos extremos do intervalo $\left[a,b\right]$ de tal forma a identificar quais desses pontos correspondem aos valores máximo e mínimo globais de $f$.

Desse modo, para determinar os valores máximos e mínimos locais devemos observar o comportamento da função localmente, em torno dos pontos críticos pertencentes ao seu domínio. Porém, quando desejamos valores máximos e mínimos globais, precisamos analisar o comportamento da função em todo o seu domínio, inclusive em seus extremos, caso seja definida por um intervalo fechado.

O estudo das derivadas de uma função diferenciável, principalmente de 1ª e 2ª ordens, pode fornecer informações importantes a respeito do comportamento da função em seu domínio, como a respeito da presença de pontos críticos, de pontos de máximo e de mínimo, entre outras.

Observe, a seguir, dois teoremas importantes a respeito das relações entre uma função e sua derivada de 1ª ordem.

Siga em Frente...

Teoremas de Rolle e do valor médio

Iniciemos pelo estudo do teorema de Rolle, aplicado a funções contínuas e diferenciáveis específicas.

Teorema de Rolle: Se $f$ é uma função contínua em $\left[a,b\right]$, diferenciável em $\left(a,b\right)$ e tal que  $f\left(a\right)=f\left(b\right)$ , então existe um número $c\in \left(a,b\right)$ tal que $f^{\text{'}}\left(c\right)=0$.

Dessa forma, se f satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle, então existe um ponto $x=c$ em $\left(a,b\right)$ tal que a inclinação da reta tangente ao gráfico de $f$ nesse ponto é nula, isto é, a reta tangente ao gráfico nesse ponto é paralela ao eixo $x$, sendo uma reta horizontal. Note que $f$ pode apresentar um único ponto em que $f^{\text{'}}\left(c\right)=0$, como ilustrado no exemplo da Figura 2(a). Porém pode apresentar dois ou mais pontos que atendam a essa propriedade, como os exemplos ilustrados nas Figura 2(b)-(c).

(a)  Valor único

(b)  Dois valores

(c)   Infinitos valores

Figura 2 | Alguns casos possíveis envolvendo o teorema de Rolle.

Vejamos um exemplo. Considere a função $f:\left[-\mathrm{1,1}\right]\to \mathrm{ℝ}$ definida por $f\left(x\right)=x^2+1$. As condições do teorema de Rolle são verificadas para essa função no domínio indicado. Além disso, sabemos que $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x$ e, nesse caso, $f^{\text{'}}\left(0\right)=0$. Logo, o ponto que atende ao teorema de Rolle é $x=0$.

Com base nesse resultado, podemos construir um segundo teorema, o qual permite relacionar inclinação de reta tangente com inclinação de reta construída com base nos extremos do domínio da função. Observe, a seguir, seu enunciado.

Teorema do valor médio: Se $f$ é uma função contínua em $\left[a,b\right]$ e diferenciável em $\left(a,b\right)$, então existe um número $c\in \left(a,b\right)$, tal que $f^{\text{'}}\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$, ou ainda, $f\left(b\right)-f\left(a\right)=f^{\text{'}}\left(c\right)\left(b-a\right)$.

O teorema do valor médio nos diz que diante das hipóteses verificadas existe um $x=c$ para o qual a inclinação da reta tangente ao gráfico de $f$ é igual à inclinação da reta que contém os pontos $\left(a, f\left(a\right)\right)$ e $\left(b,f\left(b\right)\right)$. Um exemplo associado a esse teorema é apresentado na Figura 3.

Figura 3 | Teorema do valor médio.

Com base nesses estudos, em conjunto com outras análises que podem ser realizadas a partir das raízes de uma função, seus limites e derivadas, entre outros, podemos identificar informações importantes que nos permitem a compreensão do comportamento da função em seu domínio para solucionar problemas, possibilitando, inclusive, a construção de esboço para seu gráfico sem a necessidade de recorrer a softwares ou outras ferramentas. 

Vamos Exercitar?

Vamos analisar as funções apresentadas com base nos conceitos de ponto crítico, valor máximo e valor mínimo de função, tanto no contexto local quanto global.

• $f\left(x\right)=x^{2/3}$ definida no intervalo $\left[-\mathrm{2,3}\right]$.

Calculando a primeira derivada de $f$ teremos:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2}{3}{x}^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

Utilizando a primeira derivada para calcular os pontos críticos de $f$ poderemos observar que a equação $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ não tem zeros e, também, $f\text{'}$ não está definida em $x=0$, apesar de $f$ estar definida nesse ponto. Assim, $x=0$ é um ponto crítico de $f$.

Avaliando os valores de $f$ em $x=0$ e nos extremos do intervalo obtemos:

$f\left(0\right)=0^{\frac{2}{3}}=0$

$f\left(-2\right)={(-2)}^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{4}$

$f\left(3\right)=3^{2/3}=\sqrt[3]{9}$

Assim, o valor máximo de $f$ ocorre em $x=3$, em que $f\left(3\right)\approx \mathrm{2,08}$, enquanto o valor mínimo ocorre em $x=0$.

• $g\left(x\right)=10x(2-\ln x)$ definida no intervalo $\left[1, e^2\right]$.

Iniciemos determinando os pontos críticos de $g$ por meio da primeira derivada:

$g^{\text{'}}\left(x\right)=10\left(2-\ln x\right)+10x\left(0-\frac{1}{x}\right)=20-10\ln x-10=10-10\ln x$

Sendo assim,

$g^{\text{'}}\left(x\right)=0 \Rightarrow 10-10\ln x=0 \Rightarrow 10\ln x=10 \Rightarrow \ln x=1 \Rightarrow x=e$

Assim, o ponto crítico de $g$ é $x=e$. Vamos avaliar os valores de $g$ nesse ponto e nas extremidades do intervalo:

$g\left(e\right)=10e\left(2-\ln e\right)=10e\left(2-1\right)=10e$

$g\left(1\right)=10\left(2-\ln 1\right)=10\left(2-0\right)=20$

$g\left(e^2\right)=10e^2\left(2-\ln e^2\right)=10e^2\left(2-2\right)=0$

Logo, o valor máximo da função ocorre em $x=e$, em que $g\left(e\right)\approx \mathrm{27,2}$. Já o valor mínimo ocorre na extremidade direita do intervalo, em que $x=e^2$, o que conclui a resolução do problema proposto. 

Saiba Mais

A primeira sugestão para o estudo de derivadas e problemas de otimização é o livro Cálculo, volume 1, de Rogawski e Adams. Nesse livro, a temática em questão é abordada especialmente na seção 4.2 “Valores extremos”, da página 200 até a 209.

Outra sugestão para o estudo da otimização no contexto das derivadas é a obra Cálculo, volume 1, de Stewart, Clegg e Watson. Nesse caso, confira a seção 4.1 “Valores máximo e mínimo”, da página 256 até a 264.

Para um aprofundamento acerca da otimização e derivadas, consulte a obra Um curso de cálculo, volume 1, de Guidorizzi. Para isso, sugerimos que estude as seções de 9.6 “Máximos e mínimos” até a 9.8 “Máximo e mínimo de função contínua em intervalo fechado”, trecho este localizado entre as páginas 267 e 278.

Referências Bibliográficas

ANTON, H. et al. Cálculo. v. 1. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo. v.1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. E-book. ISBN 9788521635574. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em: 29 abr. 2024.

ROGAWSKI, Jon; ADAMS, Colin; DOERING, Claus I. Cálculo. v.1. 3 ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. E-book. ISBN 9788582604601. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/. Acesso em: 29 abr. 2024.

SALAS, S. L.; HILLE, E.; ETGEN, G. J. Cálculo. v. 1. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.

STEWART, James; CLEGG, Daniel; WATSON, Saleem. Cálculo. v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book. ISBN 9786555584097. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 29 abr. 2024.

Problemas de otimização e testes das derivadas

Olá, estudante!

Nesta videoaula você irá conhecer de que forma o conceito de derivada pode contribuir para a solução de problemas envolvendo otimização.

Esse conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois podemos nos deparar com problemas de otimização em diversos contextos, desde que estejamos diante de um problema no qual seja necessário utilizar recursos da melhor forma possível visando, por exemplo, minimizar o desperdício ou maximizar lucro.

Prepare-se para essa jornada de conhecimento!

Ponto de Partida

Nossos estudos são direcionados aos problemas de otimização, tendo em vista as derivadas de funções e suas propriedades.

Um problema de otimização é mais do que apenas uma simples busca por distribuição eficiente de recursos, é um desafio complexo que exige a aplicação de técnicas matemáticas avançadas para encontrar soluções ideais em meio a diversas restrições e objetivos conflitantes. A abordagem para resolver um problema de otimização varia dependendo da natureza específica do problema e das ferramentas disponíveis, sendo as derivadas um dos recursos para esse tipo de estudo.

Para a aplicação desses conceitos, observe o problema a seguir: O custo total para a produção de $x$ unidades de um produto pode ser descrito pela função $C\left(x\right)=\mathrm{0,01}{x}^3-\mathrm{0,6}{x}^2+13x$, sendo $x$ dado em unidades e $C$, em reais.

Considerando que todas as unidades desse produto sejam vendidas a um valor de R$ 7,00 cada, se o lucro associado a esse produto pode ser calculado a partir da diferença entre receita e custo total relacionado a esse produto, determine a função real que descreve o lucro total obtido pela empresa na fabricação e venda do produto em questão. Em seguida, faça um estudo a respeito das características dessa função com o intuito de avaliar a produção para a qual ocorre lucro máximo.

Como você resolveria esse problema? Dê continuidade a esses estudos para solucionar o problema em questão. 

Vamos Começar!

Além das informações que podem ser obtidas com base nos teoremas apresentados, podemos empregar alguns testes com o intuito de compreender o comportamento de uma função em relação a intervalos de crescimento e decrescimento, presença de pontos de máximo e de mínimo, entre outras informações. Na sequência, vamos estudar os principais resultados que contribuem com a obtenção desse tipo de informação a respeito de uma função diferenciável.

Testes para derivadas

A primeira avaliação que podemos fazer em uma função com base em sua derivada de 1ª ordem é a respeito do crescimento e decrescimento em intervalos específicos de seu domínio.

Teste de crescimento/decrescimento: Sendo $f$ uma função diferenciável, se $f^{\text{'}}\left(x\right)>0$ em um intervalo $I,$ então $f$ será crescente em $I$, e se $f^{\text{'}}\left(x\right)<0,$ então $f$ será decrescente em $I$.

Por exemplo, a função $f\left(x\right)=x^2$ é diferenciável com $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x$. Para $x>0$, temos $f^{\text{'}}\left(x\right)<0$, isto é, f é decrescente em $\left(-\infty ,0\right)$. Por outro lado, para $x>0$ temos $f^{\text{'}}\left(x\right)>0$, então $f$ é crescente em $\left(0,+\infty \right)$.

Outra análise que pode ser feita em relação a uma função consiste em sua concavidade.

Considerando o estudo de uma função diferenciável, podemos classificar uma função $f$ como côncava para cima em um intervalo $I$ quando $f\text{'}$ for crescente em $I$. Por outro lado, $f$ é côncava para baixo em $I$ quando $f\text{'}$ for decrescente no intervalo.

Se tomarmos novamente a função $f\left(x\right)=x^2$, podemos afirmar que ela é côncava para cima porque sua derivada $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x$ é crescente em todo o seu domínio. Por outro lado, $g\left(x\right)=-x^2$ é côncava para baixo porque sua derivada $g^{\text{'}}\left(x\right)=-2x$ é decrescente em todo o seu domínio.

Essas são algumas análises que podem ser realizadas com base na derivada de 1ª ordem de uma função. No entanto, além delas, existem alguns testes que podem ser empregados quando desejamos avaliar os pontos críticos e a possibilidade de classificá-los como máximos ou mínimos, bem como para o estudo da concavidade. Para isso, vejamos, na sequência, o primeiro teste envolvendo a derivada de 1ª ordem da função.

Teste da primeira derivada: Se $c$ é um ponto crítico de uma função $f$ contínua, então:

1. $f\left(c\right)$ é um valor máximo local de $f$ se o sinal de $f\text{'}$ mudar de positivo para negativo em $c$.
2. $f\left(c\right)$ é um valor mínimo local de $f$ se o sinal de $f\text{'}$ mudar de negativo para positivo em $c$.
3. Se $f\text{'}$ mantém o sinal em torno de $c$, então $f$ não tem máximo ou mínimo locais quando $x=c$.

Ao analisar o comportamento de $f\left(x\right)=x^2$, note que $x=0$ é um ponto crítico porque $f^{\text{'}}\left(0\right)=0$. Em torno desse ponto o sinal da derivada $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x$ muda de negativo para positivo, logo, $x=0$ corresponde a um mínimo local.

Porém, além dessa estratégia para estudo dos pontos de máximo e mínimo, quando uma função é diferenciável e admite até a derivada de 2ª ordem, podemos complementar essa análise por meio do estudo da derivada de 2ª ordem com base no seguinte teste:

Teste da segunda derivada: Suponha que $f^{\text{'}\text{'}}$ seja contínua na proximidade de $c$, o qual é ponto crítico de $f$. Se $f^{\text{'}\text{'}}\left(c\right)>0,$ então $f$ assume um valor mínimo local quando $x=c$, e se $f^{\text{'}\text{'}}\left(c\right)<0$, então $f$ admite um valor máximo local quando $x=c$.

No exemplo a seguir, vamos conferir como podemos aliar os testes da primeira e da segunda derivadas para estudar os máximos e mínimos associados a uma função.

Seja a função $g:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$ definida por $h\left(x\right)=2{\left(x+1\right)}^2$. Vamos inicialmente determinar os pontos críticos de $g$, caso existam. Para isso, precisamos identificar as raízes de sua derivada de 1ª ordem.

Segundo a regra da cadeia, obtemos $g^{\text{'}}\left(x\right)=4\left(x+1\right)$. Se $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$, então $x=-1$, que consiste no ponto crítico de $g$. Para analisar o comportamento de $g$ em $x=-1$, então podemos aplicar o teste da primeira derivada. Note que $g^{\text{'}}\left(-2\right)=-4<0$ e $g^{\text{'}}\left(0\right)=4>0$, isto é, o sinal da derivada de 1ª ordem passa de negativo a positivo em torno de $-1$, o que implica $x=-1$ ser um mínimo local de $g$.

De acordo com o teste da segunda derivada, note que $g^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=4$, a qual é positiva em todo o seu domínio, particularmente em $x=-1$, portanto $g$ tem um mínimo local nesse ponto. Na Figura 1, temos a representação gráfica da função $g$, a qual permite visualizar o comportamento dessa função em $x=-1$.

Figura 1 | Gráfico de $g\left(x\right)=2{\left(x+1\right)}^2$.

Observe que os testes da primeira e segunda derivadas permitem um estudo a respeito dos pontos críticos de uma função diferenciável por meio da avaliação do comportamento das derivadas de 1ª e 2ª ordens da função.

No entanto, considere agora a função $h\left(x\right)=x^3$. Note que $x=0$ é um ponto crítico de $h$. Porém, ao aplicar o teste da primeira derivada, $h^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2$ não sofre mudança de sinal em torno de $x=0$, mantendo-se positiva. Além disso, do teste da segunda derivada temos que $p^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=6x$ se anula em $x=0$, o que impossibilita a classificação desse ponto como máximo ou mínimo. Esse ponto, apesar de ser crítico, não corresponde a um ponto de máximo nem de mínimo, mas a um ponto de inflexão.

Um ponto $x=c$ é classificado como ponto de inflexão de uma função $f$ se $f$ for contínua em $c$ e houver mudança de concavidade em torno de $c$. Analisando graficamente o comportamento da função $h\left(x\right)=x^3$ em torno de $x=0$, conforme observado na Figura 2, $h$ sofre uma mudança de concavidade, a qual é voltada para baixo em valores $x<0$ e para cima em valores $x>0$.

Figura 2 | Gráfico para a função $h\left(x\right)=x^3$.

Porém, para garantir que ocorre a mudança de concavidade em torno desse ponto, podemos empregar um teste, o qual envolve o estudo da derivada de 2ª ordem para a função em questão.

Teste da concavidade: Para uma função $f$ diferenciável, se $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)>0$ para todo $x$ em um intervalo $I$ de seu domínio, então o gráfico de $f$ é côncavo para cima em $I$. Por outro lado, se $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)<0$ para todo $x$ em um intervalo $I$ de seu domínio, então o gráfico de $f$ é côncavo para baixo em $I$.

Por exemplo, se $h\left(x\right)=x^3$, então $h^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2$ e $h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=6x$. Como $p^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)<0$ para $x<0$, então $h$ tem concavidade voltada para baixo em $(-\infty ,0)$, e sendo $h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)>0$ para $x>0,$ então $h$ tem concavidade voltada para cima em $\left(0,+\infty \right)$. Devido a essa mudança de concavidade, então podemos concluir que $x=0$ é um ponto de inflexão para a função $h$. Observe também que $h^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=0$, ou seja, a derivada de 2ª ordem se anula no ponto de inflexão.

Observe, a seguir, alguns problemas que podem ser classificados como problemas de otimização e que podem ser estudados com o auxílio do conceito de derivada e nos testes estudados.

Siga em Frente...

Problemas de otimização

Os problemas de otimização possuem a característica de objetivarem a maximização ou minimização de alguma variável, estudada a partir de uma função de uma variável real, a qual pode ser construída com base no tipo de situação a ser representada.

Confira no exemplo a seguir um problema de otimização com vistas a maximizar uma produção: Uma empresa produz caixas de papelão de diferentes tamanhos. Um dos modelos de caixa sem tampa deve ser fabricado a partir de uma folha de papelão com 12 cm por 24 cm, cortando-se fora quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados, conforme ilustrado na Figura 3. Queremos determinar quais devem ser as dimensões dos quadrados a serem cortados dessa folha de papelão para que a caixa tenha volume máximo

Figura 3 | Montagem da caixa de papelão.

Seja $x$ o lado de cada quadrado que será cortado da folha de papelão e considere $V$ o volume de cada caixa sem tampa. Como retiramos $2x$ da medida de cada lado ao formar a caixa, porque retiramos os quatro quadrados iguais, então a caixa terá comprimento de $24-2x$ cm, largura de $12-2x$ cm e altura de medida  cm. Logo, seu volume pode ser calculado por:

$V=\left(24-2x\right)\left(12-2x\right)x=288x-72x^2+4x^3$

Como $V$ é uma função que depende apenas de $x$, a qual consiste na incógnita do problema, então devemos determinar $x$ para o qual o volume é máximo. Para isso, podemos investigar a função $V$, diferenciável, e determinar seus pontos críticos, sabendo que $x$ deve ser tal que $0\le x\le 6$, pois o menor lado da folha de papelão tem medida 12 cm, e como devemos retirar dois quadrados congruentes de cada lado, então $x$ pode ser no máximo igual a 6 cm. Assim, devemos determinar o valor máximo de $V$ no intervalo $\left[\mathrm{0,6}\right]$.

Na determinação dos pontos críticos, iniciemos identificando a função $V\text{'}$:

$V^{\text{'}}\left(x\right)=288-144x+12x^2$

Igualando essa função a zero, obtemos as raízes $x=6-2\sqrt{3}\approx \mathrm{2,54}$ e $x=6+2\sqrt{3}\approx \mathrm{9,46}$, que correspondem aos pontos críticos de $V$. Somente o valor $x=6-2\sqrt{3}$ pertence ao intervalo $\left[\mathrm{0,6}\right]$, sendo, nesse contexto, o único candidato a valor máximo. Pelo teste da segunda derivada, e sabendo que $V^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=-144+24x$, obtemos:

$V^{\text{'}\text{'}}\left(6-2\sqrt{3}\right)=-48\sqrt{3}<0$

isto é, $x=6-2\sqrt{3}$ é um valor máximo de $V$. Além disso, note que:

$V\left(0\right)=288\left(0\right)-72{\left(0\right)}^2+4{\left(0\right)}^3=0$

$V\left(6-2\sqrt{3}\right)=288\left(6-2\sqrt{3}\right)-72{\left(6-2\sqrt{3}\right)}^2+4{\left(6-2\sqrt{3}\right)}^3\approx \mathrm{332,6}$

$V\left(6\right)=288\left(6\right)-72{\left(6\right)}^2+4{\left(6\right)}^3=0$

Portanto, o valor máximo global ou absoluto de $V$ é atingido quando $x=6-2\sqrt{3}$, ou seja, o volume máximo da caixa é obtido quando tomamos $x$ de medida $6-2\sqrt{3}$ cm ou, aproximadamente, 2,54 cm.

Em suma, para resolver um problema de otimização podemos empregar os seguintes procedimentos:

• Ler cuidadosamente o problema e identificar variáveis, condições e incógnita.
• Se possível, construir um diagrama que relacione as variáveis e as informações presentes na descrição do problema.
• Atribuir notações para cada uma das variáveis do problema.
• Expressar a incógnita em função das demais variáveis envolvidas no problema.
• Se a função identificada for uma função de várias variáveis, identificar outras relações que permitam converter essa função de várias variáveis em uma função de uma variável real.
• Realizar o estudo da função de uma variável real a partir dos testes da primeira e segunda derivadas, pontos críticos e de inflexão etc.
• Relacionar a solução obtida com a incógnita do problema em estudo.

A modelagem matemática do problema é uma etapa indispensável, por isso é necessário identificar quais expressões ou equações matemáticas podem ser empregadas em cada situação para melhor ilustrar o problema em estudo. 

Vamos Exercitar?

Para solucionar o problema, vamos denotar por $L\left(x\right)$ a função lucro, sendo $x$ a quantidade de unidades produzidas. Ainda, sendo $R\left(x\right)$ a função receita e $C\left(x\right)$ a função custo total, então:

$L\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)$

Sabemos que $C\left(x\right)=\mathrm{0,01}{x}^3-\mathrm{0,6}{x}^2+13x$. Como a função receita é $R\left(x\right)=7x$, então:

$L\left(x\right)=7x-\left(\mathrm{0,01}{x}^3-\mathrm{0,6}{x}^2+13x\right)=-\mathrm{0,01}{x}^3+\mathrm{0,6}{x}^2-6x$

A função lucro corresponde a uma função polinomial de grau 3 e, devido ao contexto, o seu domínio é dado por $D\left(L\right)=\left[0,+\infty \right)$, porque relaciona os valores possíveis para a quantidade de unidades produzidas. Além disso, essa função é diferenciável, o que permite estudar o comportamento de $L$ relacionado às suas derivadas.

Com o intuito de realizar um estudo mais específico a respeito dessa função, iniciemos pela determinação das raízes de L. Resolvendo $-\mathrm{0,01}{x}^3+\mathrm{0,6}{x}^2-6x=0$ obtemos $x=0$, $x=\mathrm{12,68}$ e $x=\mathrm{47,32}$, que correspondem aos valores nos quais temos interseções de $L$ com o eixo $x$. Dessas informações, podemos observar que se $x=0,$ então $L\left(0\right)=0$, ou seja, quando não há produção, não há lucro. Além disso, para $x=\mathrm{12,68}$ e $x=\mathrm{47,32}$ também temos lucro nulo, isto é, se forem produzidas em torno de 12 e de 47 unidades, o lucro associado à produção será nulo.

Sendo $L$ diferenciável em todo o seu domínio, podemos aplicar as regras de derivação e obter $L^{\text{'}}\left(x\right)=-\mathrm{0,03}{x}^2+\mathrm{1,2}x-6$, cujas raízes são $x=\mathrm{5,86}$ e $x=\mathrm{34,14}$, que são os pontos críticos de $L$. De acordo com o teste da primeira derivada, como em $x=\mathrm{5,86}$ o sinal da derivada muda de negativo para positivo, então esse ponto está associado a um mínimo local de $L$, enquanto $x=\mathrm{34,14}$ está ligado a um ponto de máximo local, visto que o sinal da derivada passa de positivo a negativo em torno desse ponto. Por outro lado, pelo teste da segunda derivada, e sabendo que $L^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=-\mathrm{0,06}x+\mathrm{1,2}$, note que $x=\mathrm{5,86}$ está associado a um mínimo local porque $L^{\text{'}\text{'}}\left(\mathrm{5,86}\right)=\mathrm{0,8484}>0$, enquanto $x=\mathrm{34,14}$ está associado a um máximo local porque $L^{\text{'}\text{'}}\left(\mathrm{34,14}\right)=-\mathrm{0,8484}<0$, confirmando as características dos dois pontos críticos de L. Temos que $x=\mathrm{34,14}$ está ligado a um máximo global, no domínio considerado, no entanto, $x=\mathrm{5,86}$ não corresponde a um mínimo global porque $\underset{x\to +\infty }{\lim } L\left(x\right)=-\infty$, o que conclui a solução do problema.

Saiba Mais

Para ampliar as referências de estudo acerca das derivadas e suas aplicações nos problemas de otimização, uma sugestão é o livro Cálculo, volume 1, de Stewart, Clegg e Watson. Nesse material, confira os conceitos e exemplos apresentados especialmente nas seções 4.3 “Como as derivadas afetam a forma de um gráfico”, da página 271 até a 279, e 4.6 “Problemas de otimização”, entre as páginas 308 e 313.

Outra referência para o estudo do comportamento de funções a partir de suas derivadas é o livro Cálculo, volume 1, de Salas, Hille e Etgen. No capítulo 4, especialmente nas seções 4.2 “Funções crescentes e decrescentes”, 4.3 “Valores extremos locais”, 4.4 “Extremidades e valores extremos absolutos”, 4.5 “Alguns problemas de máximo-mínimo” e 4.6 “Concavidade e pontos de inflexão”, você encontrará um estudo completo a respeito das diferentes características das funções que podem ser identificadas a partir de suas derivadas.

Para um aprofundamento acerca da otimização e derivadas, consulte a obra Um curso de cálculo, volume 1”, de Guidorizzi. Com relação ao estudo de crescimento e decrescimento de funções, além de concavidade, você pode estudar as seções 9.2 “Intervalos de crescimento e de decrescimento” e 9.3 “Concavidade e pontos de inflexão”, entre as páginas 223 e 239.

Referências Bibliográficas

ANTON, H. et al. Cálculo. v. 1. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um curso de cálculo. v.1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. E-book. ISBN 9788521635574. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em: 29 abr. 2024.

ROGAWSKI, J.; ADAMS, C.; DOERING, C. I. Cálculo. v. 1. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018.

SALAS, Saturnino L.; HILLE, Einar; ETGEN, Garret J. Cálculo. v. 1, 9 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. E-book. ISBN 978-85-216-2660-2. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2660-2/. Acesso em: 29 abr. 2024.

STEWART, James; CLEGG, Daniel; WATSON, Saleem. Cálculo. v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book. ISBN 9786555584097. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 29 abr. 2024.

Regra de L’Hospital

Olá, estudante!

Nesta videoaula você irá conhecer a regra de l’Hospital, que consiste em uma estratégia bastante empregada no cálculo de limites que envolvem quocientes de funções diferenciadas e indeterminações.

Esse conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois, sabendo da importância dos limites para o estudo de múltiplos temas, especialmente vinculados às características das funções, a regra de l’Hospital favorece o cálculo de limites de forma mais simples e rápida.

Prepare-se para essa jornada de conhecimento!

Ponto de Partida

Desejamos a você, boas-vindas! Nesta aula investigaremos a regra de l’Hospital, que consiste em um procedimento bastante útil para o cálculo de limites que envolvem funções diferenciáveis, mas que por substituição direta geram formas indeterminadas, como é o caso de $\frac{0}{0}$ e $\frac{\infty }{\infty }$, principalmente.

A regra de l’Hospital envolve o cálculo de derivadas vinculado ao cálculo de limites, propiciando a obtenção do resultado do limite de forma mais simples e rápida quando comparamos aos procedimentos usuais.

Para contribuir com o estudo da temática em questão, suponha que durante a resolução de um problema associado a um circuito elétrico um profissional deparou-se com a seguinte função para a corrente elétrica $I$ que atravessa o circuito no instante de tempo $t$:

$I\left(t\right)=\frac{1}{\mathrm{sen} t}-\frac{1}{t}$

Para que possa concluir a resolução desse problema, esse profissional precisa avaliar a corrente elétrica que atravessa o circuito no instante em que ele é ligado, isto é, quando $t=0$.

Analisando a função no instante em questão, o que você pode concluir a respeito da corrente no circuito elétrico em questão? Justifique sua resposta com base nos conceitos envolvendo limites e derivadas.

Prossiga em seus estudos e confira os conceitos importantes para a solução do problema proposto. 

Vamos Começar!

Além dos problemas de otimização, outra aplicação importante para as derivadas consiste no estudo de limites, principalmente nos casos em que a substituição direta dos limites poderia ocasionar indeterminações, principalmente para os casos $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty }{\infty }$. Para isso, podemos empregar a regra conhecida como regra de l’Hospital. Vejamos as condições que devem ser verificadas para a aplicação desse resultado.

Regra de L’Hospital

Sejam as funções $f$ e $g$ deriváveis em um intervalo aberto contendo $a$ e tais que $f\left(a\right)=g\left(a\right)=0$. Se tivermos $g^{\text{'}}\left(x\right)\ne 0$, exceto possivelmente em $a$, então:

$\underset{x\to a}{\lim } \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim } \frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{g^{\text{'}}\left(x\right)}$

sempre que o limite à direita existir ou for infinito ( $+\infty$ ou $-\infty$). Uma conclusão análoga pode ser obtida no caso em que $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$ e $\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=\pm \infty$.

Confira no exemplo a seguir como a regra de l’Hospital pode ser utilizada no cálculo de limites.

Queremos calcular $\underset{x\to -2}{\lim } \left(\frac{x^3+8}{x+2}\right)$. Note que se substituíssemos o valor $x=-2$ nas funções que descrevem o numerador e o denominador dessa razão teríamos $f\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3+8=0$ e $g\left(-2\right)=\left(-2\right)+2=0$, isto é, pela substituição direta dos limites teríamos uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$. Como as funções presentes no numerador e denominador da razão são ambas diferenciáveis, além de que $g\left(x\right)=x+2$ não se anula em outros valores além de $x=-2$, podemos aplicar a regra de l’Hospital, de modo a obter:

$\underset{x\to -2}{\lim } \left(\frac{x^3+8}{x+2}\right)=\underset{x\to -2}{\lim } \frac{(x^3+8)\text{'}}{(x+2)\text{'}}=\underset{x\to -2}{\lim } \frac{3x^2}{1}=\underset{x\to -2}{\lim } 3x^2=3{\left(-2\right)}^2=12$

Portanto, $\underset{x\to -2}{\lim } \left(\frac{x^3+8}{x+2}\right)=12$.

Assim, por meio da regra de l’Hospital podemos calcular limites envolvendo funções diferenciáveis sem a necessidade, por exemplo, de realizar estudos a respeito de raízes de funções polinomiais e possíveis simplificações, entre outros procedimentos.

Observe a aplicação da regra de l’Hospital para indeterminações do tipo $\frac{\infty }{\infty }$.

Por exemplo, queremos calcular $\underset{x\to \infty }{\lim } \left(\frac{10x-9}{-3+12x}\right)$. Note que esse limite conduz a uma indeterminação do tipo $\frac{\infty }{\infty }$, visto que se $x\to \infty ,$ então $10x-9\to \infty$ e $-3+12x\to \infty$. Sendo assim, aplicando a regra de l’Hospital obtemos:

$\underset{x\to \infty }{\lim } \left(\frac{10x-9}{-3+12x}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim } \frac{\left(10x-9\right)\text{'}}{(-3+12x)\text{'}}=\underset{x\to \infty }{\lim } \frac{10}{12}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$

Desse modo, $\underset{x\to \infty }{\lim } \left(\frac{10x-9}{-3+12x}\right)=\frac{5}{6}$.

Siga em Frente...

A regra de l’Hospital só pode ser aplicada em limites que envolvem razões entre funções diferenciáveis e que a substituição direta dos limites gere indeterminações dos tipos $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty }{\infty }$. Não se pode aplicar essa regra em situações nas quais a substituição direta conduza a resultados do tipo $\frac{3}{0}$, por exemplo.

Em resumo, para a aplicação da regra de l’Hospital podemos empregar as seguintes etapas:

• Verifique se $\lim \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ é uma forma indeterminada do tipo $\frac{0}{0}$.
• Derive separadamente $f$ e $g.$
• Encontre o limite de $\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{g^{\text{'}}\left(x\right)}$. Se esse limite for finito, $+\infty$ ou $-\infty$, então ele é igual ao limite do quociente $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$.

Além disso, essa regra de l’Hospital pode ser empregada tanto para limites bilaterais quanto para os limites laterais.

Seja a função $g\left(x\right)=\frac{\mathrm{sen} x}{x^2}$. Vamos analisar o comportamento de $g$ em torno de $x=0$ por meio do cálculo dos limites laterais. Sabemos que as funções $\mathrm{sen} x$ e $x^2$ são ambas diferenciáveis e tendem a zero quando $x$ aproxima-se de zero tanto pela esquerda quanto à direita. Assim, podemos aplicar a regra de l’Hospital para o cálculo dos seguintes limites laterais:

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim } \frac{\mathrm{sen} x}{x^2}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim } \frac{(\mathrm{sen} x)\text{'}}{\left(x^2\right)\text{'}}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim } \frac{\cos x}{2x}=-\infty$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \frac{\mathrm{sen} x}{x^2}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \frac{(\mathrm{sen} x)\text{'}}{\left(x^2\right)\text{'}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \frac{\cos x}{2x}=+\infty$

Assim, pela regra de l’Hospital, podemos concluir que os limites laterais de $g$ em torno de zero não existem, mas tendem a $-\infty$ e $+\infty$, respectivamente, para os limites à esquerda e à direita de zero.

Vejamos outro exemplo da aplicação dessa regra no cálculo de limites envolvendo indeterminações. A função $f\left(x\right)=\ln x$ não está definida quando $x\le 0$, porém podemos estudar o limite lateral dessa função quando $x$ tende à zero pela direita, ou

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim } x\ln x$

Se $x$ tende a zero pela direita, ou por valores positivos, então $x\to 0$ e $\ln x\to -\infty$, assim, a substituição direta ocasionaria uma indeterminação do tipo $0\cdot \infty$. Note que, apesar dessa indeterminação não estar relacionada diretamente à regra de l’Hospital, é possível aplicar essa regra para o cálculo do limite apresentado.

Observe que podemos reescrever a lei de formação de $f$ da seguinte forma:

$f\left(x\right)=x\ln x=\left(\frac{1}{1/x}\right)\ln x=\frac{\ln x}{1/x}=\frac{\ln x}{x^{-1}}$

Considerando agora esse formato para a lei de formação de $f$, se $x\to 0^{+},$ então $\ln x\to -\infty$ e $x^{-1}\to \infty$. Sendo assim, como agora temos uma indeterminação do tipo $\frac{\infty }{\infty },$ podemos aplicar a regra de l’Hospital e assim:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim } x\ln x=\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \left(\frac{\ln x}{x^{-1}}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \frac{(\ln x)\text{'}}{\left(x^{-1}\right)\text{'}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \frac{1/x}{-x^{-2}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \frac{1/x}{-1/x^2}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim } (-x)=0$

Portanto, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim } x\ln x=0$.

Outra possibilidade é a aplicação da regra de l’Hospital associada a indeterminações da forma $\infty -\infty$, mas com determinados ajustes.

Vejamos o caso de $\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{sen} x}\right)$. Como a avaliação do limite está associada à indeterminação $\infty -\infty$, não podemos empregar a regra de l’Hospital de forma imediata, mas precisamos fazer algumas adaptações. Inicialmente, vamos escrever a diferença na forma de um único quociente como:

$\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{sen} x}=\frac{\mathrm{sen} x-x}{x\mathrm{sen} x}$

Agora observe que $\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \left(\frac{\mathrm{sen} x-x}{x\mathrm{sen} x}\right)$ corresponde a uma forma indeterminada $\frac{0}{0}$. Assim, pela regra de l’Hospital, aplicada duas vezes, obtemos:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{+}}{\lim } \left(\frac{\mathrm{sen} x-x}{x\mathrm{sen} x}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \frac{\left(\mathrm{sen} x-x\right)\text{'}}{(x\mathrm{sen} x)\text{'}} \\ =\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \left(\frac{\cos x-1}{\mathrm{sen} x+x\cos x}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \frac{\left(\cos x-1\right)\text{'}}{(\mathrm{sen} x+x\cos x)\text{'}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \frac{-\mathrm{sen} x}{\cos x+\cos x-x\mathrm{sen} x}=\frac{0}{2}=0 \end{gathered}$$

Logo, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{sen} x}\right)=0$.

Outra possibilidade são os limites relacionados às indeterminações da forma $1^{\infty }$. Para isso, trabalharemos com a função logarítmica natural nos pontos em que essa função é contínua. Vejamos o exemplo de $\underset{x\to 0^{+}}{\lim } {\left(1+x\right)}^{1/x}$. Nesse caso, observe que:

$\ln \left(\underset{x\to 0^{+}}{\lim } {\left(1+x\right)}^{1/x}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \ln \left({\left(1+x\right)}^{1/x}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \frac{\ln (1+x)}{x}$

Como a última expressão trata-se de uma indeterminação na forma $\frac{0}{0}$, aplicando a regra de l’Hospital obtemos:

$\ln \left(\underset{x\to 0^{+}}{\lim } {\left(1+x\right)}^{1/x}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \frac{\ln (1+x)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim } \frac{\frac{1}{x+1}}{1}=1$

Sendo assim, pela definição de logaritmo, segue que:

$\ln \left(\underset{x\to 0^{+}}{\lim } {\left(1+x\right)}^{1/x}\right)=1 \Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{\lim } {\left(1+x\right)}^{1/x}=e$

Portanto, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim } {\left(1+x\right)}^{1/x}=e$.

Vamos analisar agora o seguinte limite:

$\underset{x\to 0}{\lim } \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$

Note que a substituição direta nesse limite gera a forma indeterminada $\frac{0}{0}$, impossibilitando sua avaliação. Assim, precisamos empregar outros recursos em seu cálculo. Vamos analisar duas estratégias, uma utilizando os procedimentos usuais e outra recorrendo à regra de l’Hospital.

Calculando esse limite pelas estratégias usuais, precisamos inicialmente multiplicar numerador e denominador da fração por $\sqrt{1+x}+1$, fazer as simplificações, para então efetuar o cálculo por substituição. Confira essa estratégia a seguir:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim } \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim } \left(\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\right)\left(\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}\right) \\ =\underset{x\to 0}{\lim } \frac{\left(1+x\right)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\underset{x\to 0}{\lim } \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\underset{x\to 0}{\lim } \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Agora, calculando o mesmo limite pela regra de l’Hospital, sabemos que ${\left(\sqrt{1+x}-1\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$ e , logo,

$\underset{x\to 0}{\lim } \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim } \frac{(\sqrt{1+x}-1)\text{'}}{\left(x\right)\text{'}}=\underset{x\to 0}{\lim } \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{1}=\underset{x\to 0}{\lim } \frac{1}{2\sqrt{1+x}}=\frac{1}{2\sqrt{1+0}}=\frac{1}{2}$

Logo, de ambas as maneiras podemos chegar ao mesmo resultado, porém, pela regra de l’Hospital, precisamos apenas calcular derivadas e aplicar substituição direta, sendo um procedimento geralmente mais simples de ser aplicado. Contudo, é importante ter atenção ao tipo de limite a ser calculado, porque deve envolver um quociente de funções diferenciáveis e que esteja associado a uma indeterminação na forma $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty }{\infty }$, ou que possa ser modificado para atender a esses critérios.

Em algumas situações, precisamos aplicar a regra de l’Hospital sucessivas vezes até calcularmos o limite, mas desde que as funções permaneçam diferenciáveis. No exemplo a seguir, observe que precisaremos aplicar a regra três vezes para concluir o cálculo do limite de $\frac{x-\mathrm{sen} x}{x^3}$ quando $x$ tende a zero:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim } \frac{x-\mathrm{sen} x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim } \frac{(x-\mathrm{sen} x)\text{'}}{{(x}^3)\text{'}}=\underset{x\to 0}{\lim } \frac{1-\cos x}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim } \frac{(1-\cos x)\text{'}}{\left(3x^2\right)\text{'}}=\underset{x\to 0}{\lim } \frac{\mathrm{sen} x}{6x}=\underset{x\to 0}{\lim } \frac{(\mathrm{sen} x)\text{'}}{\left(6x\right)\text{'}} \\ =\underset{x\to 0}{\lim } \frac{\cos x}{6}=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

Avaliemos agora $\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim } \frac{\sec x}{1+\mathrm{tg} x}$. Para isso, precisamos calcular os limites laterais devido à descontinuidade do numerador e do denominador em $x=\frac{\pi }{2}$. Nesse caso, note que:

$x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}\Rightarrow \frac{\sec x}{1+\mathrm{tg} x}\to \frac{\infty }{\infty }$

$x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}\Rightarrow \frac{\sec x}{1+\mathrm{tg} x}\to \frac{-\infty }{-\infty }$

Assim, em ambos os limites laterais podemos aplicar a regra de l’Hospital. Então, calculando os limites laterais teremos:

$\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim } \frac{\sec x}{1+\mathrm{tg} x}=\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim } \frac{(\sec x)\text{'}}{(1+\mathrm{tg} x)\text{'}}=\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim } \frac{\sec x\mathrm{tg} x}{{\sec }^2 x}=\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim } \frac{\mathrm{tg} x}{\sec x}=\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim } \left(\frac{\mathrm{sen} x}{\cos x}\cdot \frac{1}{1/\cos x}\right)=\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim } \mathrm{sen} x=1$

Da mesma forma, $\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim } \frac{\sec x}{1+\mathrm{tg} x}=1$. Portanto, $\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim } \frac{\sec x}{1+\mathrm{tg} x}=1$, ou seja, o limite bilateral é igual a 1.

O conceito de derivada possui aplicação em diversos tipos de problemas e em várias ciências, no entanto, é importante ressaltar que todos os conceitos relacionados podem ser empregados apenas no caso em que as funções envolvidas atendam a todas as condições estabelecidas, como ser diferenciável em um ponto ou intervalo, ser contínua, entre outras, de acordo com o tipo de definição ou resultado que será utilizado. 

Vamos Exercitar?

Para analisar o comportamento da corrente no instante em que o circuito é ligado, devemos estudar o comportamento da função $I\left(t\right)$ quando $t$ aproxima-se de zero, pois essa função não está definida nesse ponto.

Desse modo, se analisarmos o comportamento da função por meio do limite quando $t$ se aproxima de zero pela direita, pois $t>0$, com base no limite lateral temos:

$t\to 0^{+} \Rightarrow \mathrm{sen} \left(t\right)\to 0^{+} \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{sen} t}-\frac{1}{t}\to \infty -\infty$

A partir dessas informações, não conseguimos avaliar o limite. Além disso, não temos as indeterminações que possibilitam a aplicação da regra de l’Hospital. No entanto, podemos realizar a seguinte mudança na função:

$\frac{1}{\mathrm{sen} t}-\frac{1}{t}=\frac{t-\mathrm{sen} t}{t\mathrm{sen} t}$

Observe que se $t\to 0^{+},$ então $t-\mathrm{sen} t\to 0$ e $t\mathrm{sen} t\to 0$, ou seja, temos a forma indeterminada $\frac{0}{0}$. Aplicando a regra de l’Hospital obtemos:

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim } \left(\frac{1}{\mathrm{sen} t}-\frac{1}{t}\right)=\underset{t\to 0^{+}}{\lim } \left(\frac{t-\mathrm{sen} t}{t\mathrm{sen} t}\right)=\underset{t\to 0^{+}}{\lim } \frac{{\left(t-\mathrm{sen} t\right)}^{\text{'}}}{{\left(t\mathrm{sen} t\right)}^{\text{'}}}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim } \frac{1-\cos t}{\mathrm{sen} t+t\cos t}$

O último limite ainda gera uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$, então aplicando novamente a regra de l’Hospital teremos:

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim } \frac{1-\cos t}{\mathrm{sen} t+t\cos t}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim } \frac{(1-\cos t)\text{'}}{(\mathrm{sen} t+t\cos t)\text{'}}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim } \frac{-\mathrm{sen} t}{2\cos t-t\mathrm{sen} t}=\frac{0}{2}=0$

Portanto, $\underset{t\to 0^{+}}{\lim } \left(\frac{1}{\mathrm{sen} t}-\frac{1}{t}\right)=0$, isto é, no instante inicial temos que a corrente será nula. 

Saiba Mais

Como referência para o estudo da regra de l’Hospital, podemos destacar o livro Cálculo, de Stewart, Clegg e Watson. Na seção 4.4 “Formas indeterminadas e regra de l’Hospital”, entre as páginas 283 e 289, você encontrará diversos exemplos, organizados de acordo com o tipo de indeterminação em estudo.

Outra referência que podemos destacar é o livro Um curso de cálculo, volume 1, de Guidorizzi. Nessa obra, em sua seção 9.4 “Regras de L’Hospital”, da página 240 até a 251, você poderá conferir exemplos diversos de aplicação da regra em questão para o cálculo de limites, além de demonstração da validade da propriedade em discussão.

Uma terceira referência no estudo da regra de l’Hospital é o livro Cálculo, volume 1, de Rogawski e Adams. Na seção 4.5, “A regra de L’Hospital”, entre as páginas 224 e 228, você encontrará um estudo aprofundado acerca da regra em questão, com exemplos para complementação dos estudos.

Referências Bibliográficas

ANTON, H. et al. Cálculo. v. 1. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um curso de cálculo. v.1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. E-book. ISBN 9788521635574. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em: 29 abr. 2024.

ROGAWSKI, Jon; ADAMS, Colin; DOERING, Claus I. Cálculo. v.1. 3 ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788582604601/pageid/0. Acesso em: 19 ago. 2024.

SALAS, S. L.; HILLE, E.; ETGEN, G. J. Cálculo. v. 1. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.

STEWART, James; CLEGG, Daniel; WATSON, Saleem. Cálculo. v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book. ISBN 9786555584097. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 29 abr. 2024.

Videoaula de Encerramento

Olá, estudante!

Nesta videoaula você irá retomar os tópicos principais vinculados ao estudo das derivadas de funções.

Esse conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois o conceito de derivada possui ampla aplicabilidade nas mais variadas ciências, especialmente em problemas que envolvem taxas de variação, otimização. Assim, é essencial o conhecimento dos fundamentos teóricos associados a esse assunto para possibilitar sua aplicação na resolução de problemas.

Prepare-se para essa jornada de conhecimento!

Ponto de Chegada

Para desenvolver a competência desta unidade, que é reconhecer e compreender os conceitos necessários para solucionar problemas de otimização e taxas relacionadas, você deverá, primeiramente, conhecer os conceitos fundamentais associados às derivadas de funções reais, bem como suas principais aplicações.

A derivada de uma função, que pode ser entendida tanto como um valor real como do ponto de vista de função, pode ser entendida como uma taxa de variação da função, sendo essa interpretação empregada na resolução de diferentes problemas, seja no contexto de retas, na engenharia e, também, na economia, dentre outras áreas.

Uma derivada pode ser definida de maneira formal por meio de um limite, no entanto, para aplicação prática, usualmente recorremos às regras de derivação para o cálculo das derivadas de funções, sejam as de 1ª ordem ou de ordem superior. Assim, o conhecimento das regras de derivação é indispensável para a solução de uma ampla gama de problemas que envolvem as diferentes interpretações para o conceito em discussão.

Associado a esse tema, temos a aplicação das derivadas no estudo de problemas que envolvem taxas relacionadas e problemas de otimização. Para esses casos, partindo de um modelo matemático, descrito na forma de função, podemos, por intermédio de suas derivadas, identificar propriedades das funções que podem responder ao problema real correspondente. Outra aplicação importante é com relação ao cálculo de limites que envolvem funções diferenciáveis e alguns tipos de indeterminações, possibilitando agilizar a obtenção dos resultados, sem a necessidade de recorrer a processos específicos.

Portanto, o conceito de derivada, apesar de fazer parte da área da Matemática, não se restringe apenas a essa área e pode ser aplicado a diversos problemas, e a esse fato especialmente se deve a importância de se estudar esse tema. 

É Hora de Praticar!

As derivadas desempenham um papel fundamental na análise de taxas de variação em diversos contextos. Ao lidar com situações como a determinação das taxas de variação de volumes em reservatórios de formas complexas, é essencial aplicar corretamente as regras de derivação.

Dessa forma, suponha que um reservatório de água possua o formato de um cone circular reto invertido com 8 metros de altura e cujo diâmetro no topo meça 6 metros.  

Está escoando água desse reservatório a uma taxa de 10 000 cm³/min, a partir de uma torneira localizada em sua parte inferior. Além disso, ao mesmo tempo, a água está sendo bombeada para dentro desse reservatório a uma taxa constante.

Para que o nível da água suba a uma taxa de 20 cm/min quando a altura da água for 2 m, qual deve ser a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro desse reservatório? De que forma o conceito de derivada pode contribuir para a solução desse problema?

Reflita

• Como podemos solucionar problemas que envolvem taxas relacionadas?
• Quais são os conceitos envolvendo derivadas que possibilitam o estudo e a resolução de problemas de otimização?
• Quais as condições que devem ser verificadas para a aplicação da regra de l’Hospital ao cálculo de um limite de funções? 

Resolução do estudo de caso

A seguir, temos algumas informações importantes a respeito do problema a ser estudado:

• O reservatório tem o formato de um cone circular reto invertido com 8 m de altura, ou 800 cm, e 3 m, ou 300 cm, de raio da base localizada na parte superior.
• O vazamento de água do reservatório ocorre a uma taxa de 10 000 cm³/min.
• A água está sendo bombeada para o interior do reservatório a uma taxa constante.
• A taxa de variação do nível, ou altura, da água no reservatório é de 20 cm/min.
• A incógnita corresponde à taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro desse reservatório quando a altura é de 2 m, ou 200 cm.

Podemos também representar as seguintes variáveis como: $V$ é o volume da água no reservatório, $h$ é a altura da água no reservatório, $r$ é o raio da base da água no reservatório e $T$ é a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro do reservatório.

Se a água assume o formato dentro do reservatório, de um cone circular reto de altura $h$ e raio $r$, então o volume de água pode ser dado por $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$. Na Figura 1, é apresentado um esboço para o formato do reservatório e, a partir da semelhança entre triângulos, temos $\frac{300}{r}=\frac{800}{h}$, ou ainda, $r=\frac{3h}{8}$. Substituindo essa relação na expressão do volume do cone, então:

$V=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{3h}{8}\right)}^{2}h=\frac{1}{3}\pi \left(\frac{9h^2}{64}\right)h=\frac{3}{64}\pi h^3$

Assim, o volume do cone será dado em função da altura como $V=\frac{3}{64}\pi h^3$.

Do problema, sabemos que $\frac{dh}{dt}=20$ cm/min e queremos a taxa de variação para $h=200$, sendo assim:

$\frac{dV}{dt}=\frac{9}{64}\pi h^2\frac{dh}{dt}\Rightarrow \frac{dV}{dt}=\frac{9}{64}\pi {\left(200\right)}^2\cdot 20=112500\pi$

Assim, a taxa de variação do volume é de $112 500\pi$ cm³/min. Como a taxa de variação do volume consiste na diferença entre a taxa de água que está sendo bombeada para dentro do reservatório e o volume que escapa pela torneira, então:

$112 500\pi =T-10 000 \Rightarrow T=112 500\pi +10 000\approx 363 \mathrm{429,2}$

Portanto, a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro do reservatório é de, aproximadamente, 363 429,2 cm³/min.

Dê o play!

Assimile

Dentre os principais conceitos do cálculo diferencial e integral, podemos destacar as derivadas de funções de uma variável real. Além dos conceitos teóricos e das propriedades associadas, é importante também conhecermos as aplicações desses conceitos na resolução de problemas. Desse modo, no infográfico a seguir você poderá encontrar estratégias para solucionar diferentes tipos de problemas envolvendo as derivadas. Complemente esse infográfico com análises e conclusões obtidas a partir desses estudos.

Referências

ANTON, H. et al. Cálculo. v. 1. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.

GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. v. 1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.

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